Контрольная работа по линейной алгебре

[pic]



|№  |Оглавление                                                |Страница |
|1  |Задание № 1 (а); (б) (выполнить действия)                 |3        |
|2  |Задание № 2 (а); (б) (вычислить определитель)             |3        |
|3  |Задание № 3 (решить систему методом Гаусса)               |4        |
|4  |Задание № 4 (а) (найти обратную матрицу)                  |4        |
|5  |Задание № 4 (б)                                           |5        |
|6  |Задание № 5 (задача баланса) (а); (б)                     |6        |
|7  |Задание № 5 (в)                                           |7        |
|8  |Задание № 6 (вычислить пределы) (а); (б)                  |7        |
|9  |Задание № 6 (в)                                           |8        |
|10 |Задание № 7 (найти производную) (а)                       |8        |
|11 |Задание № 7 (задача на максимум) (б)                      |9        |



                                 Задание № 1

Выполнить действия:

а) [pic][pic]
= [pic]

б) [pic]


                              [pic] Задание № 2

Вычислить определитель двумя способами:

а) способом Крамера ( = [pic]
[pic]

б) разложением по строке (=[pic]
[pic]



                                 Задание № 3

Решить систему методом Гаусса:

[pic][pic] [pic]
сложу третью строку с первой строкой системы и получу:
[pic] [pic]сложу третью строку системы со второй и получу:

[pic] [pic][pic] [pic][pic] [pic]
[pic]
получим [pic] сложим первую и вторую строку и избавимся  от  переменной  x3,
затем получим: [pic] [pic][pic]

проверка: [pic]  [pic] [pic]

                                 Задание № 4

Найти обратную матрицу и проверить результат:

а) А=[pic] найдем  оределитель  матрицы  (=[pic],  определитель  матрицы  не
равен нулю, следовательно матрица невырожденная


А11=1  А12=5
А21=-1  А22=3  [pic]

[pic]
[pic]

Проверка
А*А-1=[pic]

 б)А=[pic] (=[pic]
определитель  матрицы  не   равен   нулю,   следовательно   данная   матрица
невырожденная

А= [pic] по формуле [pic][pic], следовательно
 А-1=1/5*[pic][pic]

проверка
А-1*А=[pic]



                                 Задание № 5

Задача баланса: договор о взаимных услугах трех фирм

|Производство услуг     |Потребление услуг      |Конечный продукт       |
|                       |Ф1     |Ф2     |Ф3     |                       |
|Ф1                     |-      |32%    |-      |68                     |
|Ф2                     |15%    |20%    |20%    |38                     |
|Ф3                     |40%    |30%    |20%    |38                     |

а) требуется составить систему уравнений баланса;
б) найти валовые обороты x1, x2, x3;
в) составить балансовую таблицу
                                    [pic]

                                   Решение

а) [pic]

б) [pic]

[pic]  [pic]

[pic]  [pic]

[pic]
[pic][pic][pic]

[pic]  [pic]

в)
|Производство     |Потребление услуг|Yi      |Xi      |
|услуг            |                 |        |        |
|                 |Ф1   |Ф2   |Ф3   |        |        |
|Ф1               |0    |32   |0    |68      |100     |
|Ф2               |15   |20   |27   |38      |100     |
|Ф3               |40   |30   |27   |38      |135     |
|Остаток          |45   |18   |81   |144     |        |
|Xj               |100  |100  |135  |        |        |


                                 Задание № 6

Вычислить пределы:
а)
[pic]

=[pic] = [pic] =

[pic]  [pic] = [pic]

б)

[pic]  [pic] [pic]

[pic]

[pic]
при x=5 [pic]


в)
[pic]
[pic]

[pic]

                                 Задание № 7

Найти производную:

а) [pic]

[pic]

[pic][pic]



б) Из квадратного листа со стороной 5  изготавливается  коробка  без  верха.
Найти наибольший объем коробки и соответствующие ему размеры.

                                                                  V=(5-2x)2x
                                                                 [pic] [pic]
                                                          [pic][pic]0