Математика

Многочленом (полиномом) от матрицы А наз. Выр-е вида: р(А)=а А +а А +… а
 АІ+а А+а А
Пусть дан многочлен р(Х), если р(А)=0, т.е. р(А) – нулевая, то М. А наз.
 корнем многочдена р(Х), а многочлен р(Х) аннулирующим многочленом от
 матрицы А.
Правило Сариуса знаков для 3-его порядка.
Минором наз. определитель, полученый вычёркиванием той строки и того
 столбца на которых стоит данный элемент.
Алг. дополнением эл. Аik наз. минор, взятый со знаком Аik=(-1)   Mik .
Разложение ? 3-его порядка по элементам первой строки :
 ?=а11А11+а12А12+а13А13 .
Матрицей обратной кв. матрице А наз. кв. матрица АЇ№ удовл. рав. А АЇ№= АЇ№
 А=Е.
Кв. матрица наз. невыражденой, если её det?0.
Теор. Всяк. невыражд. матр. А имеет невыражд. ей обр. матр.: АЇ№=A/detA.
Произвольную невыражд. матр. можно привести к еденичной (А(Е) - метод
 Жордано.
Нахождение обр. матр. с помащю эл. преобр. Теор. Если к ед. матрице порядка
 n применить те же эл. преобр.,только над строками и в том же порядке с
 пом. котор. невыражд. кв. матр. А приводится к ед., то полученная при этом
 матрица будет обратной матрице А. (А|E)((E|AЇ№).
                                Ах=В    уА=В
                              х=АЇ№В    у=ВАЇ№

                                Ранг матрицы

В матр. m*n выберем произв. S-строк, S-столб. (1?S?min(m,n)). Элем., стоящ.
 на пересечен. выбр. стр. столб. обр. матр. порядка S. Определитель этой
 матрицы наз. минорм порядка S матр А.
Этот определитель наз.минорм второго порядка исходн. матр. Аналог. получ.
 др. миноры втор. порь.,а также трет. порь., нек. из них мог. = 0.
Рангом матр. наз. наиб. из порядков её миноров,?0.
Если все миноры =0, то ранг =0.

                               Свойства ранга

1. R транспонир. матр. = R исходн.
2. R М. не завис. От отсутствия или присутствия в ней нулевых строк.
3. При эл. преобр. R матр. не мен. С их пом. матр. можно привести к
   квазитреуголной форме,R котор. = r, т.к. её минор с гл. диог. равен
   произведен. и ?0, а все миноры более высокого порядка =0, как содержащие
   нулевые строки.

                      Матричная запись линейной ситемы

А=(Кооф.), Х=(неизв.), В=(св. чл.), ?=(кооф и св. члены)



                               Невыражд. сист.
                        |a11  a12  .. b1  ..  a1m|
?=|кооф.| , ?k=| a21  a22 .. b2  ..  a2m|
                        |………………………………..|
                        | am1 am2 .. bm ..amm|
Теорема Крамера. Невыражн. лин. сит. имеет ед. решение х1=?1/? , х2=?2/?………
                      Метод Гаусса-Жордано (и наобарот)
Заключ. в эл. преобраз. матр.

                                   ВЕКТОЫ

Коллинеарн. вект. – лежащ. на || прямых или на одой прямой.
Равные вект. – коллин. и имеющ. одинак. направление и длину.
Протиположными наз. векторы (( и имеющие равные длины.
Св. векторы – т. приложения котрых может быть выбрана произвольно.
Радиус-вектором т. наз. вектор т. приложения которого является нач. коорд.,
а конец находится в т.
Направляющими косинусами векторов наз. косинусы углов ?, ?, ? образованных
ими с коорд. осями.
|r|=?(xІ+yІ+zІ)   x=|r|cos?   y=|r|cos?   …  …  => cos?=x/?( xІ+yІ+zІ)
Единичный вектор e=(cos(,cos(,cos?)

                       Коорд. лин. комбинации векторов

Даны n векторов. Лин. комб. a=?1*a1+?2*a2+…+?n*an     x=
?1*x1+?2*x2+…+?n*xn y=…

                     Деление отрезка в данном отношении

X=(x1+?x2)/(1+?) – в отношении ?.

                       Скалярн. произведение векторов

ab=|a||b|cos(ab)        Т.к. |b|cos ?=пр a b , |a|cos?=пр b a , ab=|a|пр a
b = |b|пр b a
Свойства:               1.Переместит(коммуникативности) аb=ba
                              2.Сочетательности(ассоциативности)
относительно числ. множ. (?a)b=?(ab)
                              3.Распределительности (дистрибутивности)
относит. суммы векторов   a(b+c)=ab+ac
                       Правило лев. и прав. тройки В.
3 не комплан. вект. a,b,c взятых взятых в указанном порядке и приложенных к
одной точке наз. тройкой векторов abc.
Будем см. с конца c на плоск. образ. вект.а и b ,если кратчайший поворот от
а к b совершим против часовой стрелки то тройка наз. правой…
Векторным произведением 2-х векторов a и b наз. вектор [a*b] и удовл. след.
усл.:1)|[a*b]|=|a||b|sin? ;2)[a*b]+a и b;3)тройка a b [a*b] имеет ту же
ориентацию,что и i jk.
Из  усл. 1) следует что |  | векторное произведение = площади
параллелограмма.
[a*b]=0 < = > a комплан. b
Свойства:               1.Антиперестановочности     [a*b]=-[a*b]
                              2.Сочетательности относительно скалярн. множ.
    [(?a)*b]=?[a*b]
                              3.Распределительности (дистрибутивности)
относит. суммы векторов   [(a+b)c]=[a*c]+[b*c]
          |i   j    k  |
[a*b]=|x1 y1 z1|=|y1 z1|*i+… …
          |x2 y2 z2|  |y2 z2|

                       Смешанное произведение векторов

Даны 3 вект. a,b,c . Умножим векторно a на b и скалярно на с. В рез. получ.
число, котор наз. векторно-скалярным произведением или смешаным.
V параллелипипеда=смеш. произвед. вект. и «+», если тр. abc прав.
abc=[ab]c=a[bc]
       |x1 y1 …|
abc=|x2 … …|   < = > abc-комплан.
       |x3 … …|                          |x2-x1 y2-y1 … |
V 3-ох угольн. Пирамиды=mod|x3-x1   …    … |
                                              |x4-x1   …    … |

                          Линейная завис. Векторов

a1,a2,…an – наз. лин. завис. векторов, если сущ. ?1,?2 …?n, таких что:
?1*a1+?2*a2+…+?n*an=0
Теорема 1. a1,a2,…,an, n>1 лин зависима < = > по меньшей мере, один из них
явл. лин. комб. остальных.
Теорема 2. а и b лин. завис < = > они коллин.
Теорема 3. Если е1 и е2 – не колинеарные векторы нек. плоск., то любой
третий вектор а, принадлежащий той же плоскости ед. образом раскл. по ним
а=х*е1+у*е2.
Теорема 4. a,b,c – лин. завис. < = > они коллинеарны.
Теорема 5. Если е1,е2,е3 не комплан., то любой любой а можно ед. обр.
разложить по ним а=?1*е1+?2*е2+?3*е3
Теорема 6. Всяк. 4-е вектора лин. завис.
Базис – любая упорядоченая система 3-ох лин. независ.,т.е. не компланарных
векторов  d=x*e1+y*e2+z*e3   d(x,y,z) в базисе е1е2е3



                          АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ…

F(x,y)=0 – ур-е линии в общем виде
F(?,?)=0 – … в полярных координатах. Если это уравнение разрешимо
относительно ?, то ?= ?(?).
x=f(t)          \
y= ? (t)       / - параметрические уравнения линии.
Если дан. линии заданы ур-ем ?= ?(?), параметрически ур-я записываются   x=
?(?)*cos ?   y= ?(?)*sin ?
Упрощ. ур-е второй степени не содержащее члена с произведением координат
AxІ+CyІ+Dx+Ey+F=0     (1)
Перейдём к нов. сист. коорд. оху путём параллельного переноса.
Ур-е (1) путём выделения полных квадратов преведено к одному из следующих
канонических уравнений:
хІ/aІ+yІ/bІ=1 – эллипс – геом. место точек плоскости, для котор. сумма
раст. до двух данных т. (фокусов) =const,F1(-c,0), F2(c,0),c=?(aІ+bІ)
                                         Эпсиктриситетом эл. наз. ?=?(1-
(b/a)І)     Директрисами эл. наз. прямые x=a/? и x=--a/?
хІ/aІ+yІ/bІ=0 – удовл. коорд. ед. т. (0,0)
хІ/aІ+yІ/bІ=-1 – неудовл. коорд. ни одной  т.
в сл. А*С>0 линии элипсического типа
хІ/aІ -- yІ/bІ=1 или  --хІ/aІ + yІ/bІ=1 – гиперболы – геом. место т.
плоскости для которых |  | разности расстояний до двух данных
т.(фокусов)=const \
                                                             F1(-c,0),
F2(c,0), c=?(aІ+bІ) , ?=c/a, Ассимптоты : у=х*b/a и y=-- х*b/a , Директрисы
: x=-a/? и x=a/?                 |
                                                            Равносторонние
Г. – с равными полуосями.
                                          /
хІ/aІ -- yІ/bІ=0 – пара пересекающихся прямых

                             / - линии гиперболического типа
уІ=2px – парабола - геом. место т. плоскости равноудалённых от фокуса и
директрисы \
              Симметрин. относит. ох : уІ=2px , Директриса x=-p/2 ,F(p/2,0)
, r=x+p/2           |
                                              oy : xІ=2qy , Директриса y=-
q/2 ,F(0,q/2) , r=y+q/2           |
yІ=bІ - пара || прямых
                                              > - линии параболического
типа
yІ=0 – пара совпавших прямых
                                       /
yІ=--bІ - неудовл. коорд. ни одной  т.

Если С=0, А?0, то (1) приводится хІ=2qy

Прямая на плоскости. Общий вид: х=а или y=b
k=(y2-y1)/(x2-x1) , где х1,у1,…,… -координаты двух любых т. плоскости.
|          tg(угла м/у 2-я ? прямыми)=(k2-k1)/(1+k1k2)
Уравнение касательной:  y-y0=k(x-x0)
                 |         Если прямые заданы общими уравнениями
(Ах+Ву+С=0):
Ур-е нормали : y-y0=-1/k*(x-x0)
                     |          tg(угла м/у 2-я ? прямыми)=(A1*B2-
A2*B1)/(A1*A2+B1*B2)
Ур-е прямой    (y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)  , (x2?x1,y2?y1)
         |            || < = >A1/A2=B1/B2  ,   + A1/B1=--B2/A2
Ур-е прямой в отрезках    x=x1+(x2—x1)*t   y=y1=(y2—y1)*t  , t € R
Расстояние от т. М0(х0,у0) до прямой Ах+Ву+С=0 : d=(A*x0+B*y0+C)/?(AІ+BІ)
Ур-е окружности : (x-a)І+(y-b)І=RІ
Упрощ. общее ур-е второй степени: AxІ+2Bxy+CyІ+Dx+Ey+F=0
   При повароте коорд осей на ? для которого ctg2?=(A— C)/2B
                                                    x=x’ cos ? –y’ sin ?
                                                    y=x’ sin ? +x’ cos ?
Предел ф-ии. Постоянная b наз. lim y=f(x) при x>a , если для любого ?>0
сущ. ?>0, что при всех x удовл. усл. 0<|x-a|< ?, выполняется условие |f(x)-
b|