Численное интегрирование определённых интегралов
Работа из раздела: «
Математика»
АННОТАЦИЯ
В данной работе будут рассмотрены три метода приближённого
интегрирования определённого интеграла: метод прямоугольников, метод
трапеций и метод Симпсона. Все эти методы будут подробно выведены с оценкой
погрешности каждого из них. Для более полного восприятия материала в работу
помещён раздел, в котором подробно расписано решение, всеми тремя методами,
определённого интеграла. В материале имеются иллюстрации, с помощью
которых, можно более глубоко вникнуть в суть рассматриваемой темы.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение…………………………………………………………3
Основная часть………………………………………………....4
-формула прямоугольников………………………………....6
-формула трапеций…………………………………………..8
-формула Симпсона…………………………………………10
Практика……………………………………………………….15
Заключение…………………………………………………….19
Список литературы…………………………………………….20
ВВЕДЕНИЕ
Цель данной курсовой работы – изучение методов приближённого
интегрирования. Для некоторых подынтегральных функций [pic] интеграл можно
вычислить аналитически или найти в справочниках. Однако в общем случае
первообразная [pic] может быть не определена: либо первообразные не
выражаются через элементарные функции, либо сами подынтегральные функции не
являются элементарными. Это приводит к необходимости разработки
приближенных методов вычисления определенных интегралов. Наиболее
общеупотребительными приближенными методами вычисления одномерных
определенных интегралов являются, так называемые, 'классические' методы
численного интегрирования: метод прямоугольников, метод трапеций, метод
парабол (основанные на суммировании элементарных площадей, на которые
разбивается вся площадь под функцией [pic]). Хотя эти методы обычно
предпочтительней в случае малых размерностей, они практически не годятся
для вычисления многомерных интегралов, для их вычисления используются
другие методы, однако в этой работе они рассмотрены не будут.
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
I.Определение интеграла и его геометрический смысл.
В начале узнаем, что такое определённый интеграл. Возможны два
различных подхода к определению определённого интеграла.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1: приращение F(b)-F(a) любой из преобразованных функций
F(x)+c при изменении аргумента от x=a до x=b называют определённым
интегралом от a до b функции f и обозначается [pic].
Причём функция F является первообразной для функции f на некотором
промежутке D, а числа а и b принадлежат этому промежутку. Это можно
записать следующим образом:
[pic] (1)
это формула Ньютона-Лейбница.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2:
[pic]Если при любой последовательности разбиений отрезка [a;b] таких,
что ?=max?xi>0 (n>?) и при любом выборе точек[pic] интегральная сумма
?k=[pic]f(?i) ?xi стремится к одному и тому же конечному пределу А, то это
число А и есть определённый интеграл, т.е.[pic] limn>? ?k = lim?>0 [pic]f
(?i) ?xi=A(2).
Где ?хi=xi-xi-1 (i=1,2,…,n) ?=max?xi – начало разбиения [pic]
произвольная точка из отрезка[xi-1;xi]
сумма всех произведений f(?i)?xi(i=1,…,n). Простыми словами, определенный
интеграл есть предел интегральной суммы, число членов которой неограниченно
возрастает, а каждое слагаемое стремится к нулю.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ:
[pic]Всякая непрерывная на отрезке [a,b] функция f интегрируема на
отрезке [a,b], функция f неотрицательна, но определённый интеграл [pic]
численно равен S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f,
осью абсцисс и прямыми x=a и x=b, S=[pic]f(x)dx.
II.Приближённые методы вычисления.
Как мы уже отметили, если функция f непрерывна на промежутке, то на
этом промежутке существует функция F такая, что F’=f, то есть существует
первообразная для функции f, но не всякая элементарная функция f имеет
элементарную первообразную F. Объясним понятие элементарной функции.
Функции: степенная, показательная, тригонометрическая, логарифмическая,
обратные тригонометрическим называются основными элементарными функциями.
Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана с
помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифметических операций и
суперпозиций основных элементарных.
Например следующие интегралы: ?e-xdx; ?[pic]; ?dx/ln|x|; ?(ex/x)dx;
?sinx2dx; ?ln|x|sinxdx существуют, но не выражаются в конечном виде через
элементарные функции, то есть относятся к числу интегралов, «не берущихся»
в элементарных функциях.
Бывает, что на практике сталкиваются с вычислением интегралов от
функций, которые заданы табличными и графическими способами, или интегралы
от функций, первообразные которых выражаются через элементарные функции
очень сложно, что не удобно, долго и не рационально. В этих случаях
вычисление определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница (1) сводит
вычисление определённого интеграла от какой-либо функции к нахождению её
первообразной. Значит, если первообразная не элементарна, надо вычислить
определённый интеграл как-то по другому, поэтому прибегают к различным
методам приближённого интегрирования.
В основе приближённых методов интегрирования лежит геометрический смысл
определённого интеграла, который рассмотрен выше.
Формул приближённого интегрирования существует много. В данной курсовой
работе будет рассмотрено три метода приближённого интегрирования: метод
трапеций, метод прямоугольников и метод Симпсона.
1. Формула прямоугольников
Теперь рассмотрим первый вид приближённого вычисления:
требуется вычислить определённый интеграл: [pic].
Пусть на отрезке [a,b] задана непрерывная функция y=f(x). Разделим
отрезок [a,b], аналогично как в формуле трапеций: точками a=x0,x1,x2,…,xn=b
на n равных частей длины ?х, где ?х=(b-a)/n.
[pic]Обозначим через y0,y1,y2,…,yn-1,yn значение функции f(x) в точках
x0, x1, x2…,xn, то есть, если записать в наглядной формуле:
Y0=f(x0), y1=f(x1), y2=f(x2)…yn,=f(xn).
В данном способе подынтегральную функцию заменяем функцией, которая
имеет ступенчатый вид (на рис. выделена).
Составим суммы: y0?x+ y1?x1+ y2?x2…+yn-1?x; Y1?x+ y2?x+…+yn?x
Каждое слагаемое этих сумм выражает площадь, полученных прямоугольников
с основанием ?х, которое является шириной прямоугольника, и длиной
выраженной через yi: Sпр=a*b=yi?x.
Каждая из этих сумм является интегральной суммой для f(x) на отрезке
[a,b], и равна площади ступенчатых фигур, а значит приближённо выражает
интеграл. Вынесем ?x=(b-a)/n из каждой суммы, получим:
[pic]f(x)dx??x(y0+y1+…+yn-1);
[pic]f(x)dx??x(y1+y2+…+yn).
Выразив x, получим окончательно:
[pic]f(x)dx?((b-a)/n)(y0+y1+…+yn-1);(3)
[pic]f(x)dx?((b-a)/n)(y1+y2+…+yn);(3*)
Это и есть формулы прямоугольников. Их две, так как можно использовать
два способа замены подынтегральной функции. Если f(x)- положительная и
возрастающая функция, то формула (3) выражает S фигуры, расположенной под
графиком, составленной из входящих прямоугольников, а формула (3*)- площадь
ступенчатой фигуры, расположенной под графиком функции составленной из
выходящих треугольников.
Ошибка, совершаемая при вычислении интегралов по формуле прямоугольников,
будет тем меньше, чем больше число n (то есть чем меньше шаг деления)[pic].
Для вычисления погрешности этого метода используется формула:
Pnp=[pic], где [pic] Результат полученный по формуле (3) заведомо даёт
большую площадь прямоугольника, так же по формуле (3*) даёт заведомо
меньшую площадь, для получения среднего результата используется формула
средних прямоугольников:[pic] (3**)
2.Формула трапеций.
Возьмём определённый интеграл ?f(x)dx, где f(x)- непрерывная
подынтегральная функция, которую мы для наглядности будем предполагать
положительной. При вычислении интеграла с помощью формулы трапеций
подынтегральная функция f заменяется функцией, график которой представляет
собой ломанную линию (на рисунке 2 красным цветом), звенья которой
соединяют концы ординат yi-1 и yi (i=1,2,…,n).[pic]Тогда площадь
криволинейной трапеции, ограниченной линиями x=a, x=b, y=0, y=f(x), а
значит (следуя из геометрического смысла), и значение нужного нам
интеграла, приблизительно равна сумме площадей обычных трапеций с
основаниями yi-1 и yi и высотой h=(b-a)/n, так как (если более привычно
выражать для нас) h это ?x,a ?x=(b-a)/n при делении отрезка на n равных
отрезков при помощи точек x0=a
