Решение нелинейного уравнения методом касательных
Работа из раздела: «
Математика»
Пензенский приборостроительный колледж
на тему:
Метод касательных решения нелинейных уравнений
Выполнил: Ст-т 22п группы ЛЯПИН Р.Н.
Проверила: ______________
Ковылкино – 1999 г.
ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ
студент Ляпин Р.Н. группа 22п
1. Тема: 'Метод касательных решения нелинейных уравнений'.
2. Изучить теоретический материал по заданной теме.
3. Составить блок схему алгоритма решения задачи .
4. Написать программу на языке Турбо-Паскаль для решения задачи в общем
виде.
5. Выполнить программу с конкретными значениями исходных данных.
6. Определить корни уравнения х3 + 0,1 * х2 + 0,4 * х – 1,2 = 0
аналитически и уточнить один из них с точностью до 0,000001 методом
касательных
7. Срок представления работы к защите: 10 мая 1999 г.
8. Исходные данные для исследования: научная и техническая литература.
Руководитель курсовой работы: Кривозубова С.А.
Задание принял к исполнению: Ляпин Р.Н.
РЕФЕРАТ
Курсовая работа содержит: страниц, 1 график, 5 источников.
Перечень ключевых понятий: производная, метод касательных,
программирование, нелинейное уравнение.
Объект исследования: Корни нелинейного уравнения.
Цель работы: Определение корней нелинейного уравнения.
Методы исследования: изучение работ отечественных и зарубежных авторов
по данной теме.
Полученные результаты: изучен метод касательных решения нелинейных
уравнений; рассмотрена возможность составления программы на языке
программирования Турбо-Паскаль 7.0
Область применения: в работе инженера.
СОДЕРЖАНИЕ
стр.
| |
ВВЕДЕНИЕ........................................ 5
1. Краткое описание сущности метода касательных
( метода секущих Ньютона).................... 7
2. Решение нелинейного уравнения аналитически .. 9
3. Блок схема программы ........................ 11
4. Программа на языке PASCAL 7.0 ............... 12
5. Результаты выполнения программы ............. 13
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННИХ ИСТОЧНИКОВ ............... 14
| |
ВВЕДЕНИЕ
Процедура подготовки и решения задачи на ЭВМ достаточно сложный и
трудоемкий процесс, состоящий из следующих этапов:
1. Постановка задачи (задача, которую предстоит решать на ЭВМ,
формулируется пользователем или получается им в виде задания).
2. Математическая формулировка задачи.
3. Разработка алгоритма решения задачи.
4. Написание программы на языке программирования.
5. Подготовка исходных данных .
6. Ввод программы и исходных данных в ЭВМ.
7. Отладка программы.
8. Тестирование программы.
9. Решение задачи на ЭВМ и обработка результатов.
В настоящей курсовой работе условие задачи дано в математической
формулировке, поэтому необходимость в выполнении этапов 1 и 2 отпадает и
сразу можно приступить к разработке алгоритма решения задачи на ЭВМ. Под
алгоритмом понимается последовательность арифметических и логических
действий над числовыми значениями переменных, приводящих к вычислению
результата решения задачи при изменении исходных данных в достаточно
широких пределах. Таким образом, при разработке алгоритма решения задачи
математическая формулировка преобразуется в процедуру решения,
представляющую собой последовательность арифметических действий и
логических связей между ними. При этом алгоритм обладает следующими
свойствами: детерминированностью, означающей, что применение алгоритма к
одним и тем же исходным данным должно приводить к одному и том уже
результату; массовость, позволяющей получать результат при различных
исходных данных; результативностью, обеспечивающей получение результата
через конечное число шагов.
Наиболее наглядным способом описания алгоритмов является описание его
в виде схем. При этом алгоритм представляется последовательность блоков,
выполняющих определенные функции, и связей между ними. Внутри блоков
указывается информация, характеризующая выполняемые ими функции. Блоки
схемы имеют сквозную нумерацию.
Конфигурация и размеры блоков, а также порядок построения схем
определяются ГОСТ 19.002-80 и ГОСТ 19.003-80.
На этапе 4 составляется программа на языке Турбо-Паскаль. При
описании программы необходимо использовать характерные приемы
программирования и учитывать специфику языка. В качестве языка
программирования выбран язык ПАСКАЛЬ ввиду его наглядности и облегченного
понимания для начинающих программистов, а также возможности в дальнейшем
использовать для решения более трудных задач.
Этапы алгоритмизации и программирования являются наиболее трудоемкими,
поэтому им уделяется большое внимание.
В процессе выполнения курсовой работы студент готовит исходные данные,
вводит программу и исходные данные. При работе ввод программы и исходных
данных осуществляется с клавиатуры дисплея.
Отладка программы состоит в обнаружении и исправлении ошибок,
допущенных на всех этапах подготовки задач к решению на ПЭВМ. Синтаксис
ошибки обнаруживается компилятором, который выдает сообщение, указывающее
место и тип ошибки. Обнаружение семантических ошибок осуществляется на
этапе тестирования программы, в котором проверяется правильность выполнения
программы на упрощенном варианте исходных данных или с помощью контрольных
точек или в режиме пошагового исполнения.
Задание при обработке на ЭВМ проходит ряд шагов: компиляцию,
редактирование (компоновку) и выполнение.
Обработка результатов решения задачи осуществляется с помощью ЭВМ.
Выводимые результаты оформлены в виде, удобном для восприятия.
1. Краткое описание сущности метода касательных
( метода секущих Ньютона)
Пусть на отрезке [a; b] отделен корень с уравнения f (x) = 0 и f
-функция непрерывна на отрезке [a; b], а на интервале ]a; b[ существуют
отличные от нуля производные f ’ и f ”.
Так как f ’(x) ? 0 , то запишем уравнение f (x) = 0 в виде :
x = x – ( f (x) / f ’(x)) (1)
Решая его методом итераций можем записать :
xn+1 = x n– ( f (x n) / f ’(x n))
(2)
Если на отрезке [a;b] f ’(x) * f “(x) > 0, то нул – евое
приближение выбираем x0=a. Рассмотрим геометрический смысл метода .
Рассмотрим график функции y=f(x). Пусть для определенности f ‘(x) > 0 и f
“(x) > 0 (рис. 1). Проведем касательную к графику функции в точке B (b, f
(b)). Ее уравнение будет иметь вид :
y = f (b) + f ’(b) * (x – b)
Полагая в уравнении y = 0 и учитывая что f ’(x) ? 0, решаем его
относительно x. Получим :
x = b – (f (b) /f ‘(b))
Нашли абсциссу x1 точки c1 пересечения касательной с осью ox :
x1 = b – (f (b) – f ’ (b))
Проведем касательную к графику функции в точке b1 (x1; f (x1)).Найдем
абсциссу x2 точки с2 пересечения касательной с осью Ox :
x2 = x1 – (f (x1) / ( f ’(x1))
Вообще :
xk+1 = x k – ( f (x k) / f ’(x k))
(3)
Таким образом, формула (3) дает последовательные приближения (xk)
корня, получаемые из уравнения касательной , проведенной к графику функции
в точке b k (x k; f (x k0) метод уточнения корня c [a;b]
уравнения f (x) = 0 с помощью формулы (3) называется методом касательной
или методом Ньютона.
Геометрический смысл метода касательных состоит в замене дуги y = f
(x) касательной, одной к одной из крайних точек . Начальное приближение x
0 = a или x0 = b брать таким, чтобы вся последовательность приближения х
k принадлежала интервалу ]a;b[ . В случае существования производных f ’, f
”, сохраняющих свои знаки в интервале, за х0 берется тот конец отрезка
[a;b], для которого выполняется условие f ’(х0) * f (х0) > 0. Для оценки
приближения используется общая формула :
|c-x k-1 | ? | f (x k+1)/m| , где m = min f ’(x) на отрезке
[a;b] .
На практике проще пользоваться другим правилом :
Если на отрезке [a;b] выполняется условие 0 < m < | f (x)| и ? -
заданная точность решения, то неравенство | x k+1-x k| ? ? влечет
выполнение неравенства |c-x k-1| ? ? .
В этом случае процесс последовательного приближения продолжают до тех
пор, пока не выполнится неравенство :
|c-x k-1| ? ? .
2. Решение нелинейного уравнения аналитически
Определим корни уравнения х3 + 0,1х2 + 0,4х – 1,2 = 0 аналитически.
Находим : f (x) = х3 + 0,1х2 + 0,4х – 1,2
f ‘ (x) = 3х2 + 0,1х + 0,4
f (–1) = –2,5 < 0 f (0) = –1,2 < 0 f (+1) =
0,3 > 0
|x |- ? |-1 |0 |+1 |+ ? |
|sign f (x) |- |- |- |+ |+ |
Следовательно, уравнение имеет действительный корень, лежащий в
промежутке [ 0; +1 ].
Приведем уравнение к виду x = ? (x) , так , чтобы | ? ‘ (x) | <1 при
0 ? x ? +1.
Так как max | f ’(x) | = f ’(+1) = 3 + 0,1 + 0,4 = 3,5 то можно взять
R = 2.
Тогда ? (x) = x – ( f (x) / R) = x – 0,5 х3 – 0,05 х2 – 0,2 х + 0,6 =
– 0,5 х3 – 0,05 х2 + 0,8 х + 0,6.
Пусть х0 = 0 , тогда х n+1 = ? (х n).
Вычисления расположим в таблице.
|n |хn |х2n |х3n |? (хn). |f (x) |
|1 |1 |1 |1 |0,85 |-0,17363 |
|2 |0,85 |0,7225 |0,614125 |0,9368125 |0,08465 |
|3 |0,9368125 |0,87761766 |0,822163194 |0,89448752 |-0,04651 |
|4 |0,89448752 |0,800107923 |0,715686552 |0,917741344 |0,024288 |
|5 |0,917741344 |0,842249174 |0,772966889 |0,905597172 |-0,01306 |
|6 |0,905597172 |0,820106238 |0,74268589 |0,912129481 |0,006923 |
|7 |0,912129481 |0,83198019 |0,758873659 |0,908667746 |-0,0037 |
|8 |0,908667746 |0,825677072 |0,750266124 |0,910517281 |0,001968 |
|9 |0,910517281 |0,829041719 |0,754856812 |0,909533333 |-0,00105 |
|10 |0,909533333 |0,827250884 |0,752412253 |0,910057995 |0,000559 |
|11 |0,910057995 |0,828205555 |0,753715087 |0,909778575 |-0,0003 |
|12 |0,909778575 |0,827697055 |0,753021048 |0,909927483 |0,000159 |
|13 |0,909927483 |0,827968025 |0,753390861 |0,909848155 |-8,5E-05 |
|14 |0,909848155 |0,827823665 |0,753193834 |0,909890424 |4,5E-05 |
|15 |0,909890424 |0,827900583 |0,753298812 |0,909867904 |-2,4E-05 |
|16 |0,909867904 |0,827859602 |0,753242881 |0,909879902 |1,28E-05 |
|17 |0,909879902 |0,827881437 |0,753272681 |0,90987351 |-6,8E-06 |
|18 |0,90987351 |0,827869803 |0,753256804 |0,909876916 |3,63E-06 |
|19 |0,909876916 |0,827876002 |0,753265263 |0,909875101 |-1,9E-06 |
|20 |0,909875101 |0,827872699 |0,753260756 |0,909876068 |1,03E-06 |
График функции y = х3 + 0,1х2 + 0,4х – 1,2
3. Блок схема программы
4. Программа на языке PASCAL 7.0
program metod_kasatel;{Название программы}
uses Crt; {Модуль дисплейных функций}
var {Блок описаний переменных}
xn,xn1,a,b,c,mx,y0,x0 :real;
function f1(x1:Real): Real; {Основная функция}
begin
f1 := x1*x1*x1*(-0.5)-0.05*x1*x1+0.8*x1+0.6;
end;
function f2(x4:Real): Real; {Производная от основной функции}
begin
f2 := x4*x4*x4+0.5*x4*x4+0.1*x4*x4+0.4*x4–1.2;
end;
begin {Начало основного тела программы}
Clrscr; {Очистка экрана перед выполнением программы}
a:=0;b:=1;c:=0.00000001;
Writeln(' От A=',a,' до B=',b); {Вывод на экран}
Writeln(' Погрешность с=',c);
Readln; { Ожидание нажатия клавиши Enter}
xn:=b;
xn1:= f1(xn);
y0:=f2(b);
while ABS(y0)>c do {Проверка по точности вычисления корня}
begin {Тело цикла}
xn:=xn1;
xn1:=f1(xn);
y0:= f2(xn1);
{Печать промежуточного результата}
Writeln('xn=',xn,' xn+1=',xn1,' f(xn+1)=',y0);
Readln; { Ожидание нажатия клавиши Enter}
end; {Конец тела цикла}
Writeln('Конечные значения'); {Печать полученного результата}
Writeln(' xn+1=',xn1,' f(xn+1)=',y0);
Readln; { Ожидание нажатия клавиши Enter}
end. {Конец основного тела программы}
5. Результаты выполнения программы
От A= 0.0000000000E+00 до B= 1.0000000000E+00
Погрешность с= 1.0000000000E-08
От A= 0.0000000000E+00 до B= 1.0000000000E+00
Погрешность с= 1.0000000000E-08
xn= 8.5000000000E-01 xn+1= 9.3681250000E-01 f(xn+1)= 8.4649960270E-02
xn= 9.3681250000E-01 xn+1= 8.9448751986E-01 f(xn+1)=-4.6507647892E-02
xn= 8.9448751986E-01 xn+1= 9.1774134381E-01 f(xn+1)= 2.4288343840E-02
xn= 9.1774134381E-01 xn+1= 9.0559717189E-01 f(xn+1)=-1.3064617920E-02
xn= 9.0559717189E-01 xn+1= 9.1212948085E-01 f(xn+1)= 6.9234699658E-03
xn= 9.1212948085E-01 xn+1= 9.0866774587E-01 f(xn+1)=-3.6990702320E-03
xn= 9.0866774587E-01 xn+1= 9.1051728099E-01 f(xn+1)= 1.9678960780E-03
xn= 9.1051728099E-01 xn+1= 9.0953333295E-01 f(xn+1)=-1.0493249720E-03
xn= 9.0953333295E-01 xn+1= 9.1005799543E-01 f(xn+1)= 5.5884091853E-04
xn= 9.1005799543E-01 xn+1= 9.0977857497E-01 f(xn+1)=-2.9781681224E-04
xn= 9.0977857497E-01 xn+1= 9.0992748338E-01 f(xn+1)= 1.5865717614E-04
xn= 9.0992748338E-01 xn+1= 9.0984815480E-01 f(xn+1)=-8.4537703515E-05
xn= 9.0984815480E-01 xn+1= 9.0989042365E-01 f(xn+1)= 4.5040009354E-05
xn= 9.0989042365E-01 xn+1= 9.0986790364E-01 f(xn+1)=-2.3997676180E-05
xn= 9.0986790364E-01 xn+1= 9.0987990248E-01 f(xn+1)= 1.2785800209E-05
xn= 9.0987990248E-01 xn+1= 9.0987350958E-01 f(xn+1)=-6.8122881203E-06
xn= 9.0987350958E-01 xn+1= 9.0987691573E-01 f(xn+1)= 3.6295678001E-06
xn= 9.0987691573E-01 xn+1= 9.0987510095E-01 f(xn+1)=-1.9338276616E-06
xn= 9.0987510095E-01 xn+1= 9.0987606786E-01 f(xn+1)= 1.0303429008E-06
xn= 9.0987606786E-01 xn+1= 9.0987555269E-01 f(xn+1)=-5.4896190704E-07
xn= 9.0987555269E-01 xn+1= 9.0987582717E-01 f(xn+1)= 2.9248803912E-07
xn= 9.0987582717E-01 xn+1= 9.0987568093E-01 f(xn+1)=-1.5583464119E-07
xn= 9.0987568093E-01 xn+1= 9.0987575885E-01 f(xn+1)= 8.3031409304E-08
xn= 9.0987575885E-01 xn+1= 9.0987571733E-01 f(xn+1)=-4.4236003305E-08
xn= 9.0987571733E-01 xn+1= 9.0987573945E-01 f(xn+1)= 2.3572283681E-08
xn= 9.0987573945E-01 xn+1= 9.0987572766E-01 f(xn+1)=-1.2558302842E-08
xn= 9.0987572766E-01 xn+1= 9.0987573394E-01 f(xn+1)= 6.6920620156E-09
Конечные значения
xn+1= 9.0987573394E-01 f(xn+1)= 6.6920620156E-09
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Алексеев В. Е., Ваулин А.С., Петрова Г. Б. – Вычислительная техника
и программирование. Практикум по программированию :Практ .пособие/
–М.: Высш. шк. , 1991. – 400 с.
2. Абрамов С.А., Зима Е.В. – Начала программирования на языке Паскаль.
– М.: Наука, 1987. –112 с.
3. Вычислительная техника и программирование: Учеб. для техн. вузов/
А.В. Петров, В.Е. Алексеев, А.С. Ваулин и др. – М.: Высш. шк., 1990
– 479 с.
4. Гусев В.А., Мордкович А.Г. – Математика: Справ. материалы: Кн. для
учащихся. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1990. – 416 с.
5. Марченко А.И., Марченко Л.А. – Программирование в среде Turbo Pascal
7.0 – К.: ВЕК+, М.: Бином Универсал, 1998. – 496 с.
-----------------------
[pic]
Печать на дисплей промежуточных
х n+1, f(х n+1)
Печать на дисплей конечных значений
х n+1, f(х n+1)
х n:= х n+1;
х n+1:= ? (х n);
y0:= f(х n+1);
y0>c
Конец
да
нет
y0:= f(b);
х n:= b;
a:=0;
b:=1;
c:=0.00000001;
Начало
