Теория случайных функций

        Московский Государственный Институт Электроники и Математики
                          (Технический Университет)



                               КУРСОВАЯ РАБОТА
                                  по курсу
                          “Теория случайных функций“



                             Студент: Ференец Д.А.
                             Преподаватель: Медведев А.И.
                             Вариант: 2.4.5.б



                                Москва, 1995
Дано:
  Восстанавливаемая,  резервированная  система  (5,1)  с  КПУ,  вероятность
срабатывания КПУ равна b.
  Время невыхода из строя  (т.е.  безотказной  работы)  основного  элемента
распределено экспоненциально с параметром a.
  Время   восстановления   вышедшего   из   строя   элемента   распределено
экспоненциально с параметром m.
  Тип резервироавния - ненагруженный.
  Для описания состояния системы введем двумерный случайный поцесс  n(t)  =
(x(t), d(t)) с координатами, описывающими:
   - функционирование элементов
      x(t) О {0, 1, 2}  - число неисправных элементов;
   - функционирование КПУ
      d(t) О {0,1} - 1, если исправен, 0 - если нет.
  Так   как   времена   безотказной   работы   и    восстановления    имеют
экспоненциальное  распределение,  то  в   силу   свойств   экспоненциального
распределения, получим, что x(t) - однородный Марковский процесс.
  Определим состояние отказа системы:
  Система отказывает либо если переходит в состояние 2 процесса x(t)  (т.е.
отказ  какого-либо  элемента  при  количестве  резервных  элементов,  равным
нулю), либо если находится в состоянии  0 процесса d(t) (т.е. отказ  какого-
либо элемента и отказ КПУ).
  Таким образом, можно построить граф состояний системы:
      [pic]

      [pic]


                                    [pic]
      [pic]

                                      0
                                      1
                                      П
      [pic]
                                    [pic]

                                    [pic]



0 - состояние, при котором 0 неисправных элементов,

    т.е. состояние n(t) = (0, d(t))
1 - состояние, при котором 1 неисправный элемент,

    т.е. состояние n(t) = (1, 1)
П - состояние, при котором либо 2 неисправных  элемента, либо 1  неисправный
   элемент и неисправный КПУ,

   т.е. композиция состояний  n(t) = (1, 1), n(t)  =(2,  0)  -  поглощающее
   состояние.

  Найдем интенсивности переходов.
  Так как выход из строя каждого из элементов  -  события  независимые,  то
получим:
  вероятность выхода из строя элемента: 1-exp(-5ah) = 5ah + o(h)
  вероятность восстановления элемента: 1-exp(-mh) = mh + o(h)
  Ю [pic]

  Пусть [pic]

  Ю Получим систему дифференциальных уравнений Колмогорова:

[pic]

[pic]

Пусть [pic],
т.е. применим преобразование Лапласа к [pic].

Т.к. [pic], то, подставляя значения интенсивностей, получаем:

[pic]

Ю [pic]

Ю [pic]

([pic] - корни  [pic]=0)

Представляя каждую из полученных функций в виде суммы двух правильных
дробей, получаем:

[pic]

  Применяя обратное преобразование Лапласа, получаем выражения для  функций
[pic]:

Ю [pic]
Ю [pic]

Ю Искомая вероятность невыхода системы из строя за время t:

                                   [pic],

где
[pic],
[pic]

Итак,
                                   [pic],

                                     где

                                    [pic]

Определим теперь среднее время жизни такой системы, т.е. MT

(T - время жизни системы):

[pic]

Ю [pic]



                                    [pic]