Модифицированный метод Хука-Дживса
Работа из раздела: «
Математика»
Содержание:
1. Введение ………………………………………………… с. 2
2. Метод Хука-Дживса ……………………………………. с. 3
3. Модифицированный метод Хука-Дживса ……………. с. 4
4. Блок-схема данного метода ……………………………. с. 5
5. Блок-схема единичного исследования ………………... с.6
6. Текст программы ……………………………………….. с. 7
7. Распечатка результатов работы программы ………….. с. 11
Литература ………………………………………………. с. 18
Введение
На разработку методов прямого поиска для определения минимума
функций и переменных было затрачено много усилий . Методы прямого поиска
являются методами, в которых используются только значения функции. Мы
рассмотрим подробно лишь один из них. Практика показала, что этот метод
эффективен и применим для широкого числа приложений. Рассмотрим функцию
двух переменных. Ее линии постоянного уровня1 на рис. 1,
x2
рис. 1
C D
A B
x1
а минимум лежит в точке (x1*,x2*). Простейшим методом поиска является
метод покоординатного спуска. Из точки А мы производим поиск минимума вдоль
направления оси и , таким образом, находим точку В, в которой касательная к
линии постоянного уровня параллельна оси . Затем, производя поиск из точки
В в направлении оси , получаем точку С, производя поиск параллельно оси ,
получаем точку D, и т. д. Таким образом, мы приходим к оптимальной точке.
Очевидным образом эту идую можно применить для функций n-переменных.
Теоретически данный метод эффективен в случае единственного минимума
функции. Но на практике он оказывается слишком медленным. Поэтому были
разработаны более сложные методы, использующие больше информации на
основании уже полученных значений функции.
Метод Хука-Дживса
Метод Хука-Дживса был разработан в 1961 году, но до сих пор
является весьма эффективным и оригинальным. Поиск состоит из
последовательности шагов исследующего поиска вокруг базисной точки , за
которой в случае успеха следует поиск по образцу. Он применяется для
решения задачи минимизирования функции без учета ограничений .
Описание этой процедуры представлено ниже:
А. Выбрать начальную базисную точку b1 и шаг длиной h1 для каждой
переменной xj, j = 1, 2,…, n. В приведенной ниже программе для
каждой переменной используется шаг h, однако указанная выше модификация
тоже может оказаться полезной.
Б. Вычислить f (х) в базисной точке b1 с целью получения сведений о
локальном поведении функции f (x). Эти сведения будут использоваться для
нахождения подходящего направления поиска по образцу, с помощью которого
можно надеяться достичь большего убывания значения функции. Функция f(x) в
базисной точке b1, находится следующим образом:
1. Вычисляется значение функции f (b1) в базисной точке b1.
2. Каждая переменная по очереди изменяется прибавлением длины шага.
Таким образом, мы вычисляем значение функции f (b1+h1e1), где e1 –
единичный вектор в направлении оси x1. Если это приводит к уменьшению
значения функции, то b1 заменяется на b1+h1e1. В противном случае
вычисляется значение функции f (b1-h1e1), и если ее значение
уменьшилось, то b1 заменяем на b1-h1e1. Если ни один из проделанных
шагов не приводит к уменьшению значения функции, то точка b1 остается
неизменной и рассматриваются изменения в направлении оси х2, т. е.
находится значение функции f (b1+h2e2) и т. д. Когда будут рассмотрены
все n переменные, мы будем иметь новую базисную точку b2.
3. Если b2=b1, т. е. уменьшение функции не было достигнуто, то
исследование повторяется вокруг той же базисной точки b1, но с
уменьшенной длиной шага. На практике удовлетворительным является
уменьшение шага (шагов) в десять раз от начальной длины.
4. Если b2[pic]b1, то производится поиск по образцу.
В. При поиске по образцу используется информация, полученная в
процессе исследования, и минимизация функции завершается поиском в
направлении, заданном образцом. Эта процедура производится следующим
образом:
3. Разумно двигаться из базисной точки b2 в направлении b2-b1,
поскольку поиск в этом направлении уже привел к уменьшению значения
функции. Поэтому вычислим функцию в точке образца
P1=b1+2(b2-b1) .
В общем случае
Pi=bi+2(bi+1-bi) .
2. Затем исследование следует продолжать вокруг точки Р1 (Рi) .
3. Если наименьшее значение на шаге В, 2 меньше значения в базисной
точке b2 (в общем случае bi+1), то получают новую базисную точку b3
(bi+2), после чего следует повторить шаг В, 1. В противном случае не
производить поиск по образцу из точки b2 (bi+1), а продолжить
исследования в точке b2 (bi+1).
Г. Завершить этот процесс, когда длина шага (длины шагов) будет
уменьшена до заданного малого значения.
Модифицированный метод Хука-Дживса
Этот метод нетрудно модифицировать и для учета ограничений .Было
выдвинуто предложение , что для этого будет вполне достаточно при решении
задачи минимизации присвоить целевой функции очень большое значение там,где
ограничения нарушаются .К тому же такую идею просто реализовать с помощью
програмирования .
Нужно проверить ,каждая ли точка ,полученная в процессе поиска ,
принадлежит области ограничений .Если каждая , то целевая функция
вычисляется обычным путем . Если нет , то целевой функции присваивается
очень большое значение . Таким образом , поиск будет осуществляться снова в
допустимой области в направлении к минимальной точке внутри этой области.
В тексте прогаммы модифицированного метода прямого поиска Хука-Дживса
сделана попытка реализовать такую процедуру. Рассматриваемая задача
формулируется следующим образом :
минимизировать f (x1,x2) = 3x12+4x1x2+5x22 ,
при ограничениях x1[pic] x2[pic] x1+x2[pic].
Блок-схема данного метода
Нет
Да
Да Нет
Да
Нет
Блок-схема единичного исследования
Да
Нет
Нет
Да
Да
Нет
Нет
Да
Текст программы
program HuDjMody;
(*** Модифицированный метод Хука-Дживса ***)
(*** (при наличии ограничений) ***)
uses crt;
label 0,1,2,3,4,5,6,7;
var k,h,z,ps,bs,fb,fi :real;
i,j,n,fe :integer;
x,y,b,p :array[1..10] of real;
(*** Процедура,вычисляющая функцию ***)
procedure calculate;
begin
z:=3*sqr(x[1])+(4*x[1]*x[2])+(5*sqr(x[2]));
if (x[1]<0) or (x[2]<0) or ((x[1]+x[2])<4) then
z:=1.7e+38;
fe:=fe+1; (*** Счетчик ***)
end;
begin
clrscr;
gotoxy(20,2);
writeln('Модифицированный метод Хука-Дживса');
gotoxy(23,3);
writeln('( при наличии ограничений )');
writeln;
writeln('Введите число переменных:');
readln(n);
writeln;
writeln('Введите начальную точку x1,x2,…,xN');
for i:=1 to n do
readln(x[i]);
writeln;
writeln('Введите длину шага');
readln(h);
writeln;
k:=h;
fe:=0;
for i:=1 to n do
begin
y[i]:=x[i];
p[i]:=x[i];
b[i]:=x[i];
end;
calculate;
fi:=z;
writeln('Начальное значение функции', z:2:3);
for i:=1 to n do
writeln(x[i]:2:3);
ps:=0;
bs:=1;
(*** Исследование вокруг базисной точки ***)
j:=1;
fb:=fi;
0: x[j]:=y[j]+k;
calculate;
if z
