Шпора 2 по мат анализу
Работа из раздела: «
Математика»
1.Метрические, линейные, нормированные пространства.
2.Понятие функции m переменных. Предел функции m переменных.
Понятие:
Пусть даны множества D[pic]Rn и I[pic]R.
Определение 1. Если каждой точке [pic] множества D ставится в
соответствие единственное число у из I, то говорят, что задана функция
n переменных у=f(x1, …, xn). Множество D называется областью
определения функции D(у)=D, множество I называется множеством значений
функции I (у)= I.
Если зафиксировать любые n-1 переменные, то функция многих
переменных превращается в функцию одной переменной. x2=с2, x3=с3, …,
хn=cn; y=f(x1, c2, …, cn) - функция одной переменной х1.
Пример. [pic] - функция двух переменных,
[pic]- функция трех переменных.
Пусть имеется n+1 переменная x1, x2, ..., xn, y, которые связаны между
собой так, что каждому набору числовых значений переменных x1, x2, ..., xn
соответствует единственное значение переменной y. Тогда говорят, что задана
функция f от n переменных. Число y, поставленное в соответствие набору x1,
x2, ..., xn называется значением функции f в точке (x1, x2, ..., xn), что
записывается в виде формулы y = f(x1,x2,..., xn) или y =y(x1,x2,..., xn).
Переменные x1, x2, ..., xn являются аргументами этой функции, а
переменная y - функцией от n переменных.
3.Непрерывность функции m переменных. Непрерывность функции m переменных по
одной из переменных.
4.Непрерывность сложной функции.
Пусть функция ?(t) непрерывна в точке t0 и функция f(x) непрерывна в точке
х0=?(t0). Тогда функция f(?(t)) непрерывна в точке t0.
Доказательство.
Для доказательства этой теоремы воспользуемся формальным преобразованием
двух строчек кванторов. Имеем
[pic]
Выписывая подчеркнутые кванторы, получим, что
[pic],
что и говорит о том, что f(?(t)) непрерывна в точке t0. <
Обратите внимание на следующие детали:
а) т.к. x=?(t), то |?(t)-?(t0)|0), а
после точки х0 убывает (т.е. f'(х)<0). Очевидно, что в точке х0 имеется
максимум. Вывод: Если в достаточно малой окрестности точки х0 f'(х)>0 при
х< х0 и f'(х)<0 при х > х0 , то в точке х0 имеется максимум.
Если в достаточно малой окрестности точки х0 f'(х)<0 при х< х0 и f'(х)>0
при х > х0 , то в точке х0 имеется минимум.
2. Перейдем к формулировке достаточного условия экстремума с помощью второй
производной. Предполагается, что в некоторой окрестности точки х0 , в том
числе и в самой точке х0 , существует первая производная f'(х). Кроме
того, в точке х0 существует вторая производная f''(х0). Исходя из
выполнения необходимых условий экстремума, полагаем, что f''(х0)=0.
Посмотрим теперь на f''(х)как на первую производную от функции
Допустим, что f''(х0)>0. Это означает, что f'(х) возрастает при переходе
значений х < х0 к значениям х > х0 . Но f'(х0)=0, поэтому возрастание
f'(х0)<0, при х < х0 и f'(х0)>0, при х > х0 . (для значений х из достаточно
малой окрестности х0 ). В соответствии с п.1 получается минимум в точке х0
. Аналогичное рассуждение при f''(х0)<0 приводит к существованию максимума
в точке х0 . Вывод: если f'(х0)=0, а f''(х0)<0, то функция y=f(x) имеет
локальный максимум в точке х0 . Если f'(х0)=0, а f''(х0)>0, то функция
y=f(x) имеет локальный минимум в точке х0.
13.Неявные функции. Производные неявных функций.
Неявная функция одной переменной. Пусть в некоторой области [pic]плоскости
[pic]задана функция [pic], и пусть линия уровня этой функции , определяемая
уравнением [pic], является графиком некоторой функции [pic],
определяемой уравнением [pic]. В этом случае говорят, что функция
[pic]задана неявно уравнением [pic]. Для существования неявной функции
требуется выполнение следующих условий: функция [pic]и ее частная
производная по [pic]непрерывны в [pic],[pic] . Тогда в некоторой
окрестности точки [pic]существует единственная непрерывная функция
[pic], задаваемая уравнением [pic], так, что в этой окрестности [pic].
Неявная функция многих переменных. Аналогично рассматривают функции многих
переменных, заданные неявно. Например, при выполнении соответствующих
условий, уравнение [pic]задает неявно функцию [pic]. Это же уравнение
может задавать неявно функцию [pic]или [pic].
Производная неявной функции. При вычислении производной неявной функции
воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Продифференцируем
уравнение [pic]:[pic] . Отсюда получим формулу для производной функции
[pic], заданной неявно: [pic]. Таким же способом нетрудно получить формулы
для частных производных функции нескольких переменных, заданной неявно,
например, уравнением [pic]: [pic], [pic].
14.Условный экстремум функции m переменных.
Пусть функция [pic]определена в некоторой области [pic]и в этой области
задана кривая уравнением [pic]. Условным экстремумом функции двух
переменных [pic]называют ее экстремум при условии, что точки берутся на
заданной кривой. Если из уравнения кривой можно, например, выразить [pic],
то задача о нахождении условного экстремума сводится к исследованию на
экстремум функции одной переменной [pic].
15.Метод множителей Лагранжа.
Если уравнение [pic]не разрешимо ни относительно [pic], ни относительно
[pic], то рассматривают функцию Лагранжа[pic]. Необходимым условием
существования условного экстремума функции [pic]при условии [pic]является
равенство нулю всех частных производных функции Лагранжа: [pic].
16.Первообразная. Лемма. Теорема о первообразной.
17.Понятие неопределенного интеграла. Основные свойства.
Если F(x) –первообразная и f(x) сущю на промежутке X, то множество ф-ий
f(x)+c, где С-const называется непоределенным интегралом от ф-ии f(x) на
этом промежутке и обозначается (f(x)dx=F(x)+c
Свойства:
1) ( (f(x) dx )(=f(x);
2) (f( (x) dx= f(x)+C ;
3) d (f(x) dx= f(x)dx;
4) (d f(x)=f(x)+C ;
5) (kf(x)dx=k(f(x) dx;
6) ((f(x)+g(x))dx=( f(x) dx+(g(x) dx ;
7)Если (f(x) dx = F(x) + C, то (f(ax+b) dx =[pic](a ( 0).
Все эти свойства непосредственно следуют из определения.
18.Метод замены переменных.
В некоторых случаях нахождение интеграла упрощается при переходе
к другой переменной интегрирования. При этом если исходная и новая
переменные [pic] и [pic] связаны соотношением [pic], где [pic] -
обратимая дифференцируемая функция, то для интегралов справедливо
равенство
[pic],
в правой части которого после вычисления интеграла следует сделать
обратную замену [pic].
В частности, используя замену [pic] (или [pic]), получаем
формулу
[pic],
позволяющую обобщить табличные интегралы. Например:
[pic] ([pic]),
[pic],
[pic],
где [pic] и [pic] - произвольные постоянные, [pic].
| |
|19. Интегрирование по частям. |[pic] |
|Интегрирую выражение любого |Свойство монотонности. |
|дифференциала произведения, |1. Пусть ф-ия [pic] неотрицательна |
|получим: |на [pic] и интегрируема на нем, |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |Док-во: В силу н-ва для ф-ий любая |
| |интегрируема ф-ия неотрицательна ( |
|Пример: |любая последовательность |
|[pic] |интегрируемых сумм будет иметь |
|Рекомендации: |неотрицательный предел ( интеграл |
|В интегралах с подынтегральным |будет неотрицательным. |
|выражением вида: |[pic] |
|[pic] (Pn –многочлен степени n )|[pic] |
| |2. Пусть ф-ия [pic] на [pic], искл.|
|Pn принимается за u |конечн. точек, и интегрируема на |
| |[pic], тогда [pic] |
|В интегралах с подынтегральным |Док-во: Из интегрируемости |
|выражением вида: |следует, что предел не зависит от |
|[pic] |выбора разбиения на [pic]. |
|за u ( [pic] |Достаточно строить инт. разбиения |
|Интегрирование с подстановкой |так, чтобы точки, в которых ф-ия |
|выражений вида [pic] после |равна нулю, являлись точками |
|двукратного интегрирования по |разбиения. А следовательно в силу |
|частям приводится к линейному |аддитивности интеграл по всему |
|уравнению относительно вычисляемого|прмежутку равен сумме интегралов по|
|интеграла. |частичным промежуткам, т.к **** |
|20.Основные типы интегралов, |[pic] |
|берущихся по |Df Две ф-ии [pic], заданные на |
|частям.+++21.Интегрирование |[pic], значения которых различны на|
|рациональный алгебраических |[pic] лишь в конечном ч. точек |
|функций. |называются эквивалентными на этом |
|(см. дополн шпору) |отрезке. |
|22.Метод неопределенных | |
|коэффициентов. |3. Инт. от эквивалентных ф-ий совп.|
|1. Разложим знаменатель на | |
|множители: |Пусть [pic]эквивалентны и |
|[pic] |интегрируемы на [pic], тогда [pic] |
|2. Правильная дробь разлагается в |(они не совпадают а интегралы |
|сумму простейших и каждому |совпадают). |
|множителю вида [pic]соотв. сумма из|Д-во: |
|n простейших дробей вида: |[pic] на [pic] лишь в конеч. ч. |
|[pic] с неопределенным коэф. A1 …n |точек отр. [pic], следовательно по |
| |2му [pic] |
|Каждому множителю вида[pic] соот. |[pic] |
|сумма из m простейших дробей |4. Пусть [pic] на [pic], кроме |
|вида:[pic] |конечного ч. точек, [pic] инт. на |
|с неопределенным коэф.B1 C1… |[pic], [pic], то [pic] |
| |5. Пусть [pic] инт-ма на [pic] ( |
|3. Неизвестный коэф. находится |модуль ф-ии тоже интегрируем на |
|методом неопределенных коэф., |[pic] и справедливо неравенство: |
|основанном на: определении, что 2 |[pic] |
|многочлена тождественно совпадают, |6. Пусть [pic] интегрируема на |
|если у них равные коэффициенты при |[pic], [pic], то существует М, |
|одинаковых степенях. |такая что [pic] |
|4. Приравнивая коэф. при одинаковых|25.Интеграл с переменным верхним |
|степенях в левой и правой частях, |пределом. |
|получим систему линейных уравнений |Теорема о его непрерывности. |
|относительно неизвестного |Теорма: Если функция f(x) |
|уравнения. |интегрируема на отрезке [a,b], то |
|23.Понятие интегральной суммы. |функция |
|Геометрический смысл. |непрерывна на этом отрезке. |
|Определение. Пусть непрерывная |Доказательство: Дадим числу х |
|функция от одной переменной задана |приращение ?х так, чтобы |
|на отрезке [a, b]. |х+?х([a,b]. Для наглядности |
|1) Тогда разбиением отрезка [a, b] |изобразим на числовой оси один из |
|называется конечное множество точек|возможных вариантов расположения |
|х0 , х1 ... хn , где |точек: |
|а = х0 < х1< х2 < .... < хn-1 < хn | |
|= b | |
|2) обозначим через D хi = хi – |a x0 |
|хi-1, i=1, 2, …, n |x х+?х b |
|Диаметром разбиения называется | |
| D = [pic][pic] - длина |Получим: |
|максимального из отрезков |По теореме (Если функция y=f(x) |
|разбиения. |интегрируема на отрезке, то |
|На каждом отрезке [pic], i = 1, 2, |интегрируема и абсолютная величина |
|…, n, произвольно выберем [pic] и ||f(x)|, причем |
|составим сумму |…(на этом теорема закончилась, но |
|[pic] (13) |неравенство относится к ней.) и |
|которая называется интегральной |следствию из теоремы (Если на |
|суммой Римана функции f(х), |отрезке [a,b] функция f(x) |
|соответствующей |интегрируема и удовлетворяет |
|данному разбиению отрезка [а, b] и|неравенству m(f(x)(M. То |
|выбору точек [pic]. |выполняются неравенства: |
|Теперь выясним геометрический смысл|(на этом следствие из теоремы |
|интегральных сумм Римана. |закончилось) |
|Пусть f (х) непрерывная на отрезке |получаем: |
|[а, b] функция, причем f (х)[pic]0,| |
|[pic]. |Отсюда следует, что при ?х>0 будет |
|Произведение f([pic])Dхi равно |?F>0. Это доказывает непрерывность |
|заштрихованной площади |функции F(x). Отметим, что для |
|прямоугольника с основанием D х= хi|подынтегральной функции f(x) точка |
|- хi-1 и высотой f ([pic]). |х может быть точкой разрыва. |
|Тогда сумма | |
|[pic] |26.Формула Ньютона-Лейбница. |
|представляет собой сумму площадей n|Пусть F(x) -произвольная |
|прямоугольников, с основаниями D хi|первообразная для функции f(x), |
|и высотами f ([pic]), i = 1, 2…, n.|заданной на промежутке [a,b]. Так |
|Здесь х0=а, хn = b. |как две первообразные одной и той |
|Если при стремлении к нулю диаметра|же функции отличаются на постоянное|
|разбиения отрезка [а, b] существует|слагаемое, то верно равенство (1): |
|предел (14), то определенный | |
|интеграл представляет собой площадь|( в качестве числа х0 взято число |
|криволинейный трапеции. |а). |
|24.Свойства определенного |В этом тождестве положим х=а и |
|интеграла. |получим , |
|Df. Промежуток с гранич. т. A и B |Откуда С = -F(a). Формула (1) |
|ориентированным, если указано |примет вид: |
|направление перехода от т. A к т. |Заменяя здесь х на b, приходим к |
|B. |формуле Ньютона-Лейбница: |
|1. Пусть сущ. определенный интеграл| |
|[pic] сущ. определенный |Иногда ее правую часть записывают |
|интеграл[pic] и справедливо |короче с помощью двойной |
|равенство |подстановки: |
|[pic] | |
| |27.Замена переменных в определенном|
|2. [pic] |интеграле. |
|Док-во: |Теорема: при замене переменной х на|
|[pic] |t по формуле x=?(t) равенство (1) |
|[pic] | |
| |Справедливо при условиях: |
|3. Свойство линейности |1. ?(?) = а, ?(?) = b, |
|определенного интеграла: |2. ?'(t) непрерывна на отрезке |
|1. Пустьф-ии[pic]интегрируемы на |[?,?], |
|[pic]*** |3 f(x) непрерывна на отрезке [a,b],|
|[pic] |а f[?(t)] определена непрерывна на|
|2. Пусть [pic], то для любой |отрезке [?,?]. |
|произвольной постоянной [pic] [pic]|Доказательство: при наших |
|- справедлива формула [pic] |предположениях левая и правая части|
|4. Аддитивность определенного |равенства (1) существуют и |
|интеграла: |существуют первообразные |
|Пусть ф-ия [pic] интегрируема на |подынтегральные функции. Пусть |
|большем их трех помежутков [pic], |?f(x)dx = F(x)+C. Тогда, как легко |
|тогда она интегрируема на обоих |проверить дифференцированием обеих |
|меньших промежутках и справедлива |частей, справедливо равенство |
|формула: |?f[?(t)]?'(t)dt = F[?(t)]+C правая |
| |часть дифференцируется как сложная |
| |функция). Применяем формулу |
| |Ньютона-Лейбница |
| |Получаем |
| | |
| |(по условию 1) |
| |правые части этих двух равенств |
| |оказываются одинаковыми, |
| |следовательно, можно приравнять |
| |левые части. Приравнивая их, |
| |приходим к равенству (1). Ч.т.д. |
| | |
| | |
| |28.Формула интегрирования по частям|
| |определенного интеграла. |
| |Пусть u и v - непрерывно |
| |дифференцируемые функции. |
| |Проинтегрируем равенство |
| |d(uv)=udv+vdu в пределах от a до b.|
| | |
| | |
| | |
| |В левой части применим формулу |
| |Ньютона-Лейбница: |
| |Получим: |
| | |
| | |
| | |
|29.Приложение определенного |33.Числовые ряды. Свойства |
|интеграла. Площадь криволинейной |сходящихся рядов. |
|трапеции. |Рассмотрим числовую |
|Площадь s криволинейной трапеции, |последовательность |
|ограниченной кривой у=Ах2+Вх+С, |(an)=a1,a2,...,an,… |
|проходящей через точки М1 (-h; y1),|Составим из нее новую |
|M2 (0, y2), M3 (h, y3) (рис. 2) |последовательность (Sn) следующим |
|выражается формулой |образом: |
|[pic](2) |S1=а1, |
|Доказательство. Подставляя в |S2=a1+a2 |
|уравнение у=Ах2+Вх+С координаты |S3=a1+a2+a3,, |
|точек М1, М2, М3, получаем |Sn=a1+a2+…+аn=[pic] |
|у1=Аh2-Вh+С; у2=С; у3=Аh2+Вh+С, |Sn+1=Sn+an+1 |
|откуда следует, что |Выражение |
|2Аh2+2С=у1+у3; С=у2 (3) |a1+a2+…+аn+an+1+… (1) |
|Учитывая соотношение (3), имеем |обозначается символом [pic]и |
|[pic] |называется числовым рядом. |
|Рассмотрим снова криволинейную |Числа а1, а2,…,аn,… называются |
|трапецию, ограниченную произвольной|членами ряда, а число аn- n – м |
|кривой y=f(x). Разобьем отрезок [a,|членом или общим членом ряда. |
|b] на 2? равных отрезков точками |Простейшие свойства числовых рядов |
|a=x0 1 , |
|Тогда: |то ряд (1) расходится. |
|1. Если сходится ряд [pic], то | |
|сходится и ряд [pic] | |
|2. Если расходится ряд [pic], то |39.Интегральный признак Коши. |
|расходится и ряд [pic]. |Пусть [pic]- непрерывная, |
| Этот признак утверждает, что при |неотрицательная, монотонно |
|выполнении условия (8) из |убывающая функция, определенная при|
|сходимости ряда с большими членами |[pic]. Тогда ряд [pic]и интеграл |
|вытекает сходимость ряда с меньшими|[pic]либо оба сходятся, либо оба |
|членами, а из расходимости ряда с |расходятся. |
|меньшими членами вытекает |Доказательство. Ввиду монотонности |
|расходимость ряда с большими |при всех [pic]выполняются |
|членами. |неравенства [pic]. Интегрируя, |
|Теорема 2. (Предельный признак |получаем [pic]. Тогда [pic], или |
|сравнения). |[pic]. Поэтому если [pic]сходится, |
|Пусть члены рядов [pic]и [pic] |то [pic]. Тогда [pic][pic]и [pic], |
|положительны и |[pic]ряд сходится. |
|[pic] |Пусть теперь наоборот, известно, |
|Тогда |что ряд сходится. Тогда [pic]. Взяв|
|ряды [pic]и [pic] одновременно |произвольное [pic]выберем [pic]так,|
|сходятся или одновременно |чтобы [pic]. Тогда [pic]. Значит, |
|расходятся. |[pic]сходится. |
|37.Признак сравнения. |40.Знакопеременные ряды. |
|Пусть даны два ряда с полжительными|Числовой ряд, члены которого имеют |
|членами. [pic] и [pic] Причем, |различные знаки, называется |
|каждый член ряда [pic] не |знакопеременным рядом. |
|превосходит соответствующего члена |Пусть дан знакопеременный ряд |
|ряда [pic], то есть [pic] для |[pic]. (1) |
|всех [pic]. Тогда |Рассмотрим ряд, составленный из |
|если сходится ряд [pic] с большими |модулей его членов: |
|членами, то сходится и ряд [pic] с |[pic]. (2) |
|меньшими членами; |Определение 1. Ряд (1) называется |
|если расходится ряд [pic] с |условно сходящимся, если сам ряд |
|меньшими членами, то расходится и |(1) сходится, а ряд (2), |
|ряд [pic] с большими членами. |составленный из абсолютных величин,|
|Теорема остается верна, если |расходится. |
|соотношения между членами рядов |Определение 2. Ряд (1) называется |
|выполняются не для всех [pic], а |абсолютно сходящимся, если сам ряд |
|лишь начиная с некоторого |(1) сходится и ряд из абсолютных |
|номера [pic]. |величин тоже сходится. |
|При использовании признаков |Теорема. Если ряд, составленный из |
|сравнений чаще всего исследуемый |абсолютных величин членов |
|ряд сравнивают с бесконечной |знакопеременного ряда, сходится, то|
|геметрической пргрессией [pic], |и сам ряд сходится (из абсолютной |
|которая сходится при [pic] и |сходимости следует условная). |
|расходится при [pic], или с |41.Знакочередующиеся ряды. Признак |
|рядом [pic], который сходится |Лейбница. |
|при [pic] и расходится при [pic]. |Признак Лейбница. |
| |Пусть дан знакочередующийся ряд |
|38.Признак Даламбера. |[pic](монотонно стремится к 0), |
|Пусть l - предел отношения |тогда А сходится. |
|последующего члена un+1 ряда (1) к |Доказательство. |
|предидущему un при n>? , т.е. |[pic] |
|[pic] |Т.к. [pic] |
|Тогда, |[pic]. |
| если l < 1, то ряд l сходится, |[pic], [pic], то есть |
| если l > 1, то ряд l расходится, |последовательность частичных сумм |
| Если же l = 1, то вопрос о |[pic] убывает, а [pic] возрастает. |
|сходимости ряда (1) остается |[pic]Каждая из последовательностей |
|открытым. |[pic] ограничена и [pic]. |
| Доказательство. Согласно |Следовательно, [pic]. |
|определению предела переменной |[pic] [pic] |
|величины, равенство |Заметим, что: |
|[pic] |[pic]. |
|означает, что, начиная с некоторого|[pic] |
|номера n, выполняются неравенства |42.Степенные ряды. Признак Абеля. |
|[pic] |Признак Абеля. |
|где e - наперед заданное сколь |Пусть дан ряд: |
|угодно малое положительное число. |[pic]: [pic][pic] |
| Рассмотрим три случая: |Доказательство. |
| а) пусть l < 1 . Тогда всегда |[pic] Доказано. |
|можно взять e настолько малым, | |
|чтобы выполнялось неравенство |43.Теорема об интервале сходимости |
|l + ? < 1 |степенного ряда. |
|и, начиная с некоторого n , |44.Теорема о радиусе сходимости |
|неравенство |степенного ряда. |
|[pic] | |
|где q = l + ? , в силу чего (см. | |
|теорему 1) ряд (1) будет | |
|сходящимся; | |
| б) пусть l > 1 . Выбираем e | |
|так, чтобы | |
|? = l - 1 > 0 | |
| Тогда l - ? = 1 и | |
|[pic] | |
|т.е. ряд (1) расходится (см. | |
|теорему 1) | |
| в) пусть l = 1 . Тогда ряд (1) | |
|может быть как сходящимся, так и | |
|расходящимся. | |
| В самом деле, для гармонического | |
|ряда | |
|[pic] | |
|который расходится, имеем, | |
|[pic] | |
| С другой стороны, ряд | |
|[pic] | |
|сходится, а для него также | |
| | |
| | |
| | |
-----------------------
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
