Приближенное вычисление определенных интегралов

           Магнитогорский Государственный технический университет



              Приближенное вычисление определенных интегралов.
                     ФОРМУЛА ПАРАБОЛ (ФОРМУЛА СИМПСОНА)



   Подготовил:        Студент группы ФГК-98       Григоренко М.В.



                             Магнитогорск –1999

Н

е  для  всякой  непрерывной  функции  ее  первообразная   выражается   через
элементарные функции. В этих случаях вычисление определенных  интегралов  по
формуле Ньютона-Лейбница затруднительно, и   применяются  различные  способы
вычисления определенных интегралов. Один из них приведен ниже.

   Формула парабол (формула Симпсона)

   Разделим отрезок [a,b] на четное число равных частей  n  =  2m.  Площадь
криволинейной трапеции,  соответствующей  первым  двум  отрезкам  [x0,x1]  и
[x1,x2]   и  ограниченной  заданной  кривой  y  =  f(x),  заменим   площадью
криволинейной  трапеции,  которая  ограничена  параболой   второй   степени,
проходящей через три точки M(x0,y0), M1(x1,y1), M2(x2,y2)   и  имеющей  ось,
параллельную  оси  Оу  (см.  рисунок).   Такую   трапецию   будем   называть
параболической трапецией.



   Уравнение параболы с осью, параллельной оси Оу, имеет вид
                              y = Ax2 + Bx + C.
   Коэффициенты А, В и С однозначно определяются из условия,  что  парабола
проходит через три заданные точки. Аналогичные параболы строим и для  других
пар отрезков. Сумма площадей параболических  трапеций  и  даст  приближенное
значение интеграла.
   Вычислим сначала площадь одной параболической трапеции.
   Если криволинейная трапеция ограничена параболой
                              y = Ax2 + Bx + C,
   осью Ох и двумя ординатами, расстояние между которыми равно  2h,  то  ее
площадь равна
                       S = h/3 (y0 + 4y1 + y2),    (?)
   где у0 и у2 – крайние ординаты,  а  у1  –  ордината  кривой  в  середине
отрезка
   Пользуясь  формулой  (?),  мы  можем  написать  следующие   приближенные
равенства (h=?x):
   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
    Складывая левые и правые части, получим слева искомый интеграл,  справа
его приближенное значение:


   Это  и  есть  формула  Симпсона.  Здесь  число  точек  деления  n  =  2m
произвольно, но чем больше это  число,  тем  точнее  сумма  в  правой  части
равенства дает значение интеграла.

Примеры

   Было  дано  задания  вычислить  приблизительно  следующие   определенные
интегралы:

                                                      И

   Для  вычисления  данных  интегралов  мною  были   написаны   специальные
программы на языке Visual Basic for Application. (тексты программ  приведены
в приложении).
   Программы осуществляют запрос количества отрезков,  на  которые  следует
разбить заданный отрезок. Структура программ универсальна  и  применима  для
вычисления любых определенных  интегралов.  Для  этого  необходимо  изменить
границы  определенного  интеграла  в   строках   (*)   и   (**),   а   также
подынтегральную функцию в строке (***).
   Были получены следующие ответы:



   При n = 20.



   Приложение



   'Приближенное вычисление интегралов по формуле парабол
   '(формула Симпсона)
   Option Explicit
   Sub integral_1()
   Dim i As Integer, n As Integer
   Dim t As Boolean
   Dim b As Double, a As Double
   Dim chet As Double, nechet As Double
   Dim delta As Double, result As Double
   a                                  =                                   0
                    '(*)
   b                                  =                                   1
         '(**)
   t = True
   Do
   n = InputBox('Введите четное число n', 'Запрос')
   If n Mod 2 = 0 Then t = False
   Loop While t
   delta = (b - a) / n
   chet = 0
   nechet = 0
   For i = 1 To n - 1
    If (i Mod 2) = 0 Then
      chet = chet + (f(a + (delta * i)))
    Else
      nechet = nechet + (f(a + (delta * i)))
   End If
   Next i
   result = (delta / 3) * (f(a) + f(b) + (2 * chet) + (4 * nechet))
   MsgBox result, vbInformation, 'Результат'
   End Sub
   Function f(x) As Double
   f         =         Sqr(1          +          (x          ^          4))
                 '(***)
   End Function



   'Приближенное вычисление интегралов по формуле парабол
   '(формула Симпсона)
   Option Explicit
   Sub integral_1()
   Dim i As Integer, n As Integer
   Dim t As Boolean
   Dim b As Double, a As Double
   Dim chet As Double, nechet As Double
   Dim delta As Double, result As Double
   a                                  =                                   2
                    '(*)
   b                                  =                                   5
         '(**)
   t = True
   Do
   n = InputBox('Введите четное число n', 'Запрос')
   If n Mod 2 = 0 Then t = False
   Loop While t
   delta = (b - a) / n
   chet = 0
   nechet = 0
   For i = 1 To n - 1
    If (i Mod 2) = 0 Then
      chet = chet + (f(a + (delta * i)))
    Else
      nechet = nechet + (f(a + (delta * i)))
   End If
   Next i
   result = (delta / 3) * (f(a) + f(b) + (2 * chet) + (4 * nechet))
   MsgBox result, vbInformation, 'Результат'
   End Sub
   Function f(x) As Double
   f               =               1               /               (Log(x))
                  '(***)
   End Function

-----------------------
   [pic]

   [pic]

   [pic]

   [pic]

   [pic]

   [pic]

   [pic]

   [pic]

   [pic]

   [pic]

   [pic]