Hpor
Работа из раздела: «
Математика»
|Билет№1 |Билет №2 | |
|1)Функция y=F(x) |1)Точка Х0 наз-ся |Билет №3 |
|называется |точкой максимума |1)арксинусом числа а |
|периодической, если |функции f, если для |называется число, для|
|существует такое |всех х из некоторой |которого выполнены |
|число Т, не равное |окрестности точки х0 |следующие два |
|нулю, что для любых |выполнено неравенство|условия: 1)-p/2 <= |
|значений аргумента из|f(x)(f(x0) |arcsin a <= p/2; 2) |
|области определения |Окрестностью точки х0|sin(arcsin a)=a. Из |
|функции выполняются |наз-ся любой |втоого условия |
|равенства |интервал, сод-щий |следует, что |a|<=1 |
|f(x-T)=f(x)=f(x+T). |эту точку. Например, |Пример1. (рис 26) |
|Число Т называется |функция y=-x*x-3 |arcsinSQR3 / 2 = p/3,|
|периодом функции. |имеет точку максимума|так как: 1) –p/2 <= |
|Например, y=sinx – |х0=0. |p/3 <=p/2; 2)sin p/3=|
|периодическая функция|Точка х0 наз-ся |SQR3 / 2 Пример2. |
|(синусоиду нарисуешь |точкой минимума |Arcsin SQR5/2 не |
|сам (а)) Периодом |функции f, если для |имеет смысла, так как|
|функции являются |всех х из некоторой |SQR5 / 2 >1, a arcsin|
|любые числа вида |окрестности х0 |a определён при –1 <=|
|T=2PR, где R –целое, |выполнено неравенство|a <= 1 Определение |
|кроме 0. Наименьшим |f(x0) (f(x) |Арксинусом числа а |
|положительным |Например, функция |называется такое |
|периодом является |y=x+2 имеет точку |число из отрезка |
|число T=2P. Для |минимума х0=0. |[-Пи/2;Пи/2], синус |
|построения графика | |которого равен а. |
|периодической функции| | |
|достаточно построить |2)1)Если (a((1 то |2)Если функция |
|часть графика на |уравнение sinx=a |F-первообразная |
|одном из промежутков |корней не имеет, так |функции f на |
|длинной Т, а затем |как (sinx((1 для |промежутке I, то |
|выполнить |любого х. |функция y=F(x)+C |
|параллельный перенос |2)Пусть (a((1 а) На |(c-const) также |
|этой части графика |промежутке –пи/2;пи/2|является |
|вдоль оси абсцисс на |функция y=sinx |первообразной функции|
|+-Т, +-2Т, +-3Т,… |возрастает, |f на промежутке I. |
| |следовательно по |Любая первообразная |
|2)Степенью числа а, |теореме о корне, |функции f на |
|большего нуля, с |уравнение sinx =a |промежудке I может |
|рациональным |имеет один корень |быть записана в виде |
|показателем r=m/n |x=arcsin a. |F(x)+C. |
|(m-целое |Б) На промежутке |Доказательство. 1) |
|число;n-натуральное, |пи/2;3пи/2 функция |Воспользуемся |
|больше 1) называется |y=sin x убывает, |определением |
|число nSQRa^m, т.е. |значит по теореме о |первообразной: |
|a^m/n = nSQRa^m. |корне ур-ие sin x=a |(F(x)+C)’=F’(x)+C’=f(|
|Степень числа 0 |имеет одно решение |x), следовательно, |
|определена только для|x=пи-arcsin a. |y=F(x)+C – |
|положительных |В) учитывая |первообразная функции|
|показателей; 0^r=0 |периодичность функции|f на промежутке I. 2)|
|для любого r>0. |y= sin x (период |Пусть Ф и F- |
|Свойства степеней с |функции равен 2пи n) |первообразные функции|
|рациональным |решение ур-ия можно |f на промежутке I. |
|показателем Для любых|записать так: |Покажем, что разность|
|рациональных чисел r |х=arcsin a +2пи n |Ф-F равна постоянной.|
|иs и любых |x=пи- arcsin a +2пи n|Имеем (Ф(x) – F(x))’|
|положительных a и b | |= Ф’(x) – |
|справедливы следующие|решение данного ур-ия|F'(x)=f(x)-f(x)=0, |
|свойства. 1) |можно записать в виде|следовательно, по |
|Произведение степеней|следующей формулы |признаку постоянства |
|с одинаковыми |x=(-1)^n arcsin a + |функции на интервале |
|основаниями равно |пи n |Ф(x)-F(x)=C. Значит |
|степени с тем же |при четных n(n=2k) мы|любую первообразную |
|основанием и |получим все решения, |можно записать в виде|
|показателем, равным |записанные первой |F(x)+C. Графики любых|
|сумме показателей |формулой , а при |двух первообразных |
|множителей: a^r * a^s|нечетных n(n=2k+1)- |для функции y=f(x) |
|= a^r+s. |все решения |получаются друг из |
|2) Частное степеней с|записанные второй |друга параллельным |
|одинаковыми |формулой. |переносом вдоль оси |
|основаниями равно | |Ox (рис. 18) |
|степени с тем же | | |
|основанием и | | |
|показателем, равным | | |
|разности показателей | | |
|делимого и делителя: | | |
|a^r : a^s = a^r-s. | | |
|3) При возведении | | |
|степени в степень | | |
|основание оставляют | | |
|прежним, а показатели| | |
|перемножают: (a^r)^s | | |
|= a^rs 4) Степень | | |
|произведения равна | | |
|произведению | | |
|степеней: (ab)^r = | | |
|a^r * b^r. 5) | | |
|Степень частного | | |
|равна частному | | |
|степеней (a/b)^r = | | |
|a^r / b^r. 6) Пусть| | |
|r рациональное число | | |
|и число a больше | | |
|нуля, но меньше числа| | |
|b, 0 b^r, если | | |
|r-отрицательное | | |
|число.7) Для любых | | |
|рациональных чисел r | | |
|и s из неравенства | | |
|r1 ; a^r > | | |
|a^s при 00. Имеем:| | |
|nSQRa^m : qSQRa^p = | | |
|nqSQRa^mq : nqSQRa^pn| | |
|= nqSQRa^mq / | | |
|nqSQRa^pn Используя | | |
|свойство частного | | |
|корней, получим: | | |
|nqSQRa^mq / nqSQRa^pn| | |
|= nqSQRa^mq / a^pn = | | |
|nqSQRa^mq-pn. | | |
|Применим определение | | |
|степени с | | |
|рациональным | | |
|показателем: | | |
|nqSQRa^mq-pn = | | |
|a^mq-pn/nq = | | |
|a^mq/nq-pn/nq = | | |
|a^m/n-p/q = a^r-s. | | |
|Билет №4 |Билет№ 5 |Билет №6 |
|1)Арккосинусом числа |1)На интервале |1)Пусть на некотором |
|а называется такое |(-Пи/2;Пи/2) функция |промежутке задана |
|число, для которого |тангенс возрастает и |функция y=f(x); x0 – |
|выполнены следующие |принимает все |точка этого |
|два условия: 1) |значения из R. |промежутка; ?x – |
|0<=arccosa<=p; |Поэтому для любого |приращения аргумента |
|2)cos(arccos a)=a. Из|числа а на интервале |x; x0 + ?X также |
|условия 2 следует, |(-Пи/2;Пи/2) |принадлежит этому |
|что |a|<=1 Пример 1 |существует |промежутку; ?y – |
|(рис 28) |единственный корень b|приращение функции. |
|arccos1/2=p/3, так |уравнения tgx=a. Это |Предел отношения |
|как: 1)0<= p/3 <= p; |число b называют |(если он существует) |
|2) cos p/3 = Ѕ. |арктангенсом числа а |приращения функции к |
|Пример 2. Arccos p не|и обозначают arctga. |приращению аргумента |
|имеет смысла , так |Определение |при стремлении |
|как p ~=3,14 > 1; |Арктангенсом числа а |приращения аргумента |
|arccos a определён |называется такое |к нулю называется |
|при |a|Б=1 |число из интервала |производной функции в|
|2)Показательной |(-Пи/2;Пи/2) тангенс |точке. Пусть |
|функцией называется |которого равен а. |материальная точка |
|функция вида y=a^x, |Пример arctg1=Пи/4, |движется по |
|где а- заданное |так как tgПи/4=1 и |координатной прямой |
|число, а >0, a не |Пи/4((-Пи/2;Пи/2); |по закону x=x(t), |
|равно 1. Свойства |arctg(-SQR3)=-Пи/3, |т.е. координата этой |
|показательной функции|так как |точки x- известная |
|1) Областью |tg(-Пи/4)=-SQR3 и |функция времени t. |
|определения |–Пи/3((-Пи/2;Пи/2). |Механический смысл |
|показательной функции|2)Логарифмической |производной состоит в|
|являются все |функцией называется |том, что производная |
|действительные числа.|функция вида y = loga|от координаты по |
|Это следует из того, |x, где а -заданное |времени есть |
|что для любого x |число, a>0, a не рано|скорость: v(t) = |
|принадлежащего R |1. Свойства |x’(t). |
|определено значение |логарифмической |2)1) Если |a|>1, то |
|степени a^x (при |функции 1) Областью |уравнение cos x = a |
|a>0). 2) Множеством |определения |решений не имеет, так|
|значений |логарифмической |как |cos x|<=1 для |
|показательной функции|функции являются все |любого x. 2) |
|являются все |положительные |Рассмотрим случай |
|положительные |действительные числа.||a|<=1(рис 35) а) На |
|действительные числа:|Это следует из |примежудке [0;Пи] |
|E(y)=(0;+бескон.) 3) |определения логарифма|функция y=cosx |
|а) Показательная |числа b по основанию |убывает, значит, |
|функция y+a^x |a; loga b имеет |уравнение cosx=a |
|возрастает на всей |смысл, если b>0 2) |имеет один корень |
|области определения, |Множеством значений |x=arccos a. |
|если a>1. б) |логарифмической |Учитывается, что |
|Показательная функция|функции являются все |функция y=cos x – |
|Y=a^x убывает на всей|действительные числа.|периодическая с |
|области определения, |Пусть y0 – |периодом 2Пиn, |
|если 01, то |действительное число.|уравнения cosx=a на |
|большему значению |Покажем, что найдётся|промежутке [2Пиn; |
|аргумента (x2>x1) |такое положительное |Пи+2Пиn], n |
|соответствует большее|значение аргумента |принадлежит Z, в виде|
|значение функции |x0, что выполняется |x = arccos a+ 2Пиn, |
|(a^x2 > a^x1). Из |равенство y0 = |где n принадлежит Z. |
|свойств степени |logax0. По |Б) На промежутке |
|известно, если r>s и |определению логарифма|[-Пи; 0] функция y |
|a>1, то a^r >a^s. |числа имеем: x0 = |=cosx возрастает, |
|Пусть х2 > x1 и a > |a^y0, a^y0 > 0. Мы |следовательно, |
|1, тогда a^x2 >a^x1 |показали, что нашлось|уравнение cosx=a |
|(по свойству |значение x0 > 0, при |имеет один корень, а |
|степени). А это |котором значение |именно,x=-arccos a. |
|означает, что функция|логарифмической |Учитывая |
|y=a^x1 при a>1 |функции равно у0 (у0 |периодичность функции|
|возрастает на всей |– произвольное |y= cos. Делаем вывод,|
|области определения. |действительное |что решением |
|Докажем, что если 0 <|число). 3) |уравнения cos x = a |
|a<1, то большему |Логарифмическая |на промежудке |
|значению аргумента |функция обращается в |[-Пи+2Пи; 2Пиn], где |
|(x2>x1) соответствует|нуль при х=1. Решим |n принадлежит Z, |
|меньшее значение |уравнение logax=0. По|являются числа вида |
|функции (a^x2 < |определению логарифма|x=-arccos a + 2 Пиn, |
|a^x1). Из свойств |получаем: a^0 = x, |где n принадлежит Z. |
|степени известно, |т.е. x = 1. 4) а) |Таким образом, все |
|если r>s и 0x1 |функция y=loga x |могут быть записаны |
|и 01.Докажем, что|принадлежит Z. |
|означает, что функция|большему значению | |
|y=a^x при 0 х1) | |
|убывает на всей |соответствует большее| |
|области определения. |значение функции | |
|4) Нет таких значений|(loga x2 > loga x1), | |
|аргумента, при |если a>1. Пусть x2 > | |
|которых значения |x1 > 0; тогда | |
|показательной функции|используя основное | |
|равны нулю, т.е. у |логарифмическое | |
|показательной функции|тождество, запишем | |
|нет нулей. |это неравенство в | |
|5)Показательная |виде a^logax2 > | |
|функция непрерывна на|a^logax1 . (1) В | |
|всей области |неравенстве (1) | |
|определения. 6) |сравниваются два | |
|Показательная функция|значения | |
|дифференцируема в |показательной | |
|каждой точки области |функции. Поскольку | |
|определения, |при a>1 показательная| |
|производная |функция возрастает, | |
|вычисляется по |большее значение | |
|формуле (a^x)’ = a^x |функции может быть | |
|ln a. (график на |только при большем | |
|рисунке 29) |значении аргумента, | |
| |т.е. logax2 > logax1.| |
| |б)Логарифмическая | |
| |функция y=logax | |
| |убывает на всей | |
| |области определения, | |
| |если 01 принимает | |
| |положительные | |
| |значения, если x>1; | |
| |отрицательные | |
| |значения, если 01. | |
| |Пусть a>1, тогда | |
| |функция y=logax | |
| |возрастает на всей | |
| |области определения | |
| |(рис. 31); причём | |
| |loga1=0. Из этого | |
| |следует, что: для x>1| |
| |logax > loga1, т.е. | |
| |logax>0; для 01 logax < | |
| |loga1, т.е. logax < | |
| |0; для 0| |
| |loga1, т.е. logax > | |
| |0. 6) Логарифмическая| |
| |функция непрерывна на| |
| |всей области | |
| |определения. | |
|Билет № 7 |Билет №8 |Билет №9 |
|1)Пусть на некотором |1) Пусть ф-ция f(x) |1. Все рациональные и|
|промежутке задана |задана на некотором |дробно-рациональные |
|функция y=f(x); |промежутке, а –точка |ф-ции непрерывны на |
|x0-точка этого |этого промежутка. |всей области |
|промежутка; |Если для ф-ции |определения. Этот |
|?x-приращение |выполняется |факт следует из того |
|аргумента х; точка |приближенное |что рациональные и |
|х0+ ?x принадлежит |равенство f(x) ?f(a) |дробно-рациональные |
|этому промежутку; | |ф-ции дефференцируемы|
|?y-приращение |с любой , наперед |во всех точках своих |
|функции. Предел |заданной точностью, |областей опр-ия. |
|отношения (если он |для всех х , близки х|Например: ф-ция |
|существует) |к а , то говорят , |f(x)=x^3-7X^2+24x |
|приращения функции к |что ф-ция непрерывна |непрерывна на |
|приращению аргумента |в точке а. Иными |множестве |
|при стремлении |словами ф-ция f |действительных чисел;|
|приращения аргумента |непрерывна в точке а |а ф-ция |
|к нулю называется |, если f(x) >f(a) при|g(x)=(x^3+8)/(x-2) |
|производной функции в|х >а. |непрерывна на |
|точке. Пусть задана |Ф-ция непрерывная в |промежутке (-(:2) и |
|дифференцируемая |каждой точке |на промежутке (2;+ ()|
|функция y=f(x) |промежутка наз-ся | |
|(рис.36). |непрерывной на |2. Логарифмом числа b|
|Геометрический смысл |промежутке. |наз-ся показатель |
|производной состоит в|Гр. непрерывной на |степени в к-рую нужно|
|том, что значение |промежутке ф-ции |возвести основание а |
|производной функции в|представляет собой |чтобы получить число |
|точке x0 равно |непрерывную линию. |b. |
|угловому коэффициенту|Иными словами гр. |Из опр-ия имеем: a^ |
|касательной, |можно нарисовать не |logab =b (осн-ое |
|проведённой к графику|отрывая карандаша от |лог-ое тождесто) |
|функции в точке с |бумаги. |Св-ва логарифмов: |
|абсциссой x0: |Например ф-ция |При любом а>0(а(1), |
|f’(x0)=R, где |f(x)=3^x непрерывна в|и любых пол-ных х и у|
|R-угловой коэффициент|точке |выполняются следующие|
|касательной. |х0=2.Действаительно |св-ва: |
|2)1) На промежутке |3^x >3^2, при х>2. |loga1=0 |
|(-Пи.2 ; Пи.2) |Ф-ция f(x)=3^x |logaа=1 |
|функция y=tgx |непрерывна на |loga(ху)= logaХ+ |
|возрастает, значит, |множестве всех |logaУ |
|на этом промежутке, |действительных чисел |Док-во: Воспользуемся|
|по теореме о корне, |, а ее график можно |осн-ным лог-им |
|уравнение tgx=a имеет|нарисовать не отрывая|тождеством |
|один корень, а |карандаша от бумаги. |a ^ logab =b и св-ом |
|именно, x=arctg a |2) Арифметическим |показат-ной ф-ции |
|(рис 37). 2) |корнем n-ой степени |а^ х+у =а^x * а^y |
|Учитывая, что период |из числа а наз-ся |имеем |
|тангенса равен Пиn, |неотрицательное число|а^ loga(xy)=xy= a^ |
|все решения |n-ая степень к-рого |logax *a^ logay =a |
|определяются формулой|равна а. |^logax +logay |
|x=arctg a + Пиn, |Св-ва корней: Для |loga(Х/У)= logaХ- |
|nпринадлежит Z. |любых натуральных n, |logaУ |
| |целого k и любых |logaХ^Р= рlogaХ |
| |неотрицательных чисел|Формула перехода: |
| |a и b выполняются |logaХ= logbX/ logbA |
| |следующие св-ва: | |
| |N sqr ab= n sqr a * n| |
| |sqr b | |
| |n sqr (a/b)= (n sqr | |
| |a)/( n sqr b) b ?0 | |
| |n sqr (k sqr a)= kn | |
| |sqr (a), k> 0 | |
| |n sqr (a) = kn sqr | |
| |(a^k) ,k>0 | |
| |n sqr (a^k)=( n sqr | |
| |a)^k (ели k?0,то а?0)| |
| | | |
| |Для любых | |
| |неотрицательных чисел| |
| |а и b таких, что а <| |
| |b выполняется | |
| |неравенство: | |
| |n sqr a< n sqr b, | |
| |если 0?a |–1<=Xpx <=1, т.е. |?S/?x=S(x+?x)-S(x)/ |
|?)). Это число |–1<= cosx<=1. |?x |
|называют интегралом, |3)Функция косинус |г) выясним чему равен|
|т.е. Sn > integral |является чётной, т.е.|предел отношения при |
|(a;b) f(x) dx при n> |для любого x ? R |?x(0Разность |
|? |выполняется равенство|S(x+?x)-S(x) равна |
|2)Если каждому |cos(-x)=cosx. Пусть |площади криволинейной|
|действительному числу|точка Рх получина при|трапеции с основанием|
|поставлен в |повороте точки Ро на |(x; x+?x( |
|соответствие его |х радиан, а точка |Если ?x(0 то эта |
|синус, то говорят, |Р-хполучина при |площадь |
|что задана функция |повороте точки Р0 на |приблизительно равна |
|синус (обозначение |–х радиан(рис46). |площади |
|y=sin x). Свойства |Треугольник ОрхР-х |прямоугольника f(x)* |
|функции синус 1) |является |?x т.е. |
|Область определения |равнобедренным; ON – |S(x+?x)-S(x) (f(x) * |
|функции синус |биссектриса угла |?x |
|является множество |РхР-х, значит, |Имеем |
|всех действительных |является и высокой, |S(x+?x)-S(x)/ ?x |
|чисел, т.е. D(y)=R. |проведённой к стороне|(f(x) |
|Каждому |РхР-х. Из этого |При ?x(0. Этим |
|действительному числу|следует, что точки Рх|показано что |
|х соответствует |и Р-х имеют одну и ту|S((x)=f(x) |
|единственная точка |же абсциссу ON, т.е. |3)Равенство S((x) |
|единичной окружности |cos(-x)=cosx. |=f(x) означает что S-|
|Px, получаемая |4)Функция косинус |первообразная |
|поворотом точки |является |функцииf на заданном |
|P0(1;0) на угол, |периодической с |промежутке. |
|равный х радиан. |периодом 2ПиR, где |3)По основному св-ву |
|Точка Рх имеет |R-целое, кроме 0. |первообразной имеем |
|ординату, равную |Наименьшим |F(x)=S(x)+C, где F- |
|sinx. Следовательно, |положительным |какая-либо |
|для любого х |периодом косинуса |первообразная для f. |
|определено значение |являеися число 2Пи. |При x=a получим ,что |
|функции синус. 2) |Каждому | |
|Множеством значений |действительному числу|F(a)=S(a)+C т.е. |
|функции синус |вида x+2ПиR, где |C=F(a). |
|является промежуток |R?Z,соответствует |При x=b имеем |
|[-1;1], т.е. |единственная точка |F(b)=S(b)+F(a) |
|E(y)=[-1;1]. Это |единичной окружности |Следовательно |
|следует из |Рх+2ПиR, получаемая |S=S(b)=F(b)-F(a) |
|определения синуса: |поворотом точки Р0 | |
|ордината любой точки |(1;0) на угол | |
|единичной окружности |(x+2ПиR) радиан. | |
|удовлетворяет условию|Точка Рх+2ПиR имеет | |
|–1 <= Ypx<=1, т.е. |абсциссу, равную cosx| |
|–1<=sin x<=1 |или cos(x+2ПиR), где | |
|3)Функция синус |R?Z. Таким образом, | |
|является нечётной, |cosx=cos(x+2ПиR). При| |
|т.е. для любого х |R=1 имеем | |
|принадлежащего R |cosx=cos(x+2Пи), | |
|выполняется равенство|следовательно, число | |
|sin(-x)=-sinx. Пусть |2Пи является периодом| |
|точка Рх получена при|функции косинус. | |
|повороте точки Р0 на |Покажем, что 2Пи – | |
|х радиан, а точка Р-х|наименьший | |
|получена при повороте|положительный период.| |
|точки Р0 на –х радиан|Пусть Т-положительный| |
|(рис 43). Треугольник|период косинуса; | |
|ОрхР-х является |тогда cos(x+T) = cosx| |
|равнобедренным; |при любом значении х.| |
|ON-биссектриса угла |Это равенство должно | |
|РхОР-х, значит, ON |быть верно и при х=0,| |
|является медианой и |т.е. cosT = cos0=0, | |
|высотой, проведённой |следовательно, | |
|к стороне РхР-х. |cosT=0. Но cosT=0, | |
|Следовательно, PxN = |если T=2ПиR, где R?Z.| |
|P-xN, т.е. ординаты |Наименьшее | |
|точек Рх и Р-х |положительное число | |
|одинаковы по модулю и|вида 2ПиR есть 2Пи. | |
|противоположны по |5)Функция косинус | |
|знаку. Это означает, |принимает значение | |
|что sin(-x)=-sinx. |нуль при х=Пи/2 + | |
|4) Функция синус |ПиR, где R?Z. | |
|является |Решением уравнения | |
|периодической с |cosx=0 являются числа| |
|периодом 2ПиR, где R-|х+Пи/2+ПиR, где R?Z. | |
|целое. Кроме 0. |6)Функция косинус | |
|Наименьшим |принимает | |
|положительным |положительные | |
|периодом синуса |значения при –Пи/2 + | |
|является число 2Пи. |2ПиRx1. | | |
|Сравним два значения | | |
|функции: sinx2 – | | |
|sinx1 = 2cos x1+x2/2 | | |
|* sin x2-x1/2; 0< | | |
|x2-x1/2 <= Пи/2, | | |
|-Пи/2 < x1+x2/2< | | |
|Пи/2, поэтому, | | |
|учитывая промежутки | | |
|знакопостоянства | | |
|синуса и косинуса, | | |
|имеем sin x2-x1/2 > | | |
|0, cos x1+x2/2>0. | | |
|Таким образом, | | |
|sinx2-sinx1>0, | | |
|значит, большему | | |
|значению аргумента | | |
|соответствует большее| | |
|значение функции, | | |
|т.е. функция синус | | |
|возрастает на | | |
|промежутке [-Пи/2; | | |
|Пи/2]. В силу | | |
|периодичности синуса | | |
|можно утверждать, что| | |
|синус возрастает на | | |
|промежутках [-Пи/2 + | | |
|2ПиR; Пи/2 + 2ПиR], | | |
|где R принадлежит Z. | | |
|8) Функция синус | | |
|имеет максимумы , | | |
|равные 1, в точках | | |
|Пи/2 + 2ПиR, где где | | |
|R принадлежит Z. | | |
|Функция Синус имеет | | |
|минимумы, равные –1, | | |
|в точках 3Пи/2 + | | |
|2ПиR, где R | | |
|принадлежит Z. | | |
|Покажем, что точка | | |
|х0=Пи/2 является | | |
|точкой максимума. | | |
|Функция синус | | |
|возрастает на | | |
|промежутке [-Пи/2; | | |
|Пи/2], т.е. | | |
|sinx1 |
| | |1)D(f)=[0;+(], если а|
| | |не является |
| | |натуральным числом. |
| | |Это следует из |
| | |определения степени с|
| | |рациональным |
| | |показателем. Если а |
| | |натуральное число, то|
| | |D(f)=(-(;+() по |
| | |определению степени с|
| | |натуральным |
| | |показателем. |
| | |2)E(f)=[0;+() для |
| | |всех а>1, кроме а= |
| | |2R+1. Где R(N. Это |
| | |следует из |
| | |определения степени с|
| | |рациональным |
| | |показателем. |
| | |E(f)=(-(;+() для |
| | |нечётных а,т.е. |
| | |а=2R+1, где R(N. |
| | |3)Если а-чётное |
| | |натуральное число, то|
| | |данная функция |
| | |является чётной. Т.к.|
| | |f(-x)=(-x)^2R = |
| | |((-x)^2)^R= (x^2)^R =|
| | |x^2R = f(x). Если |
| | |а-нечётное |
| | |натуральное число. то|
| | |данная функция |
| | |является нечётной, |
| | |так как |
| | |f(-x)=(-x)^2R+1 + |
| | |(-x)^2R (-x)= x^2R * |
| | |(-x)=-x^2R * x+ |
| | |-x^2R+1 + -f(x). |
| | |4)При х=0 функция |
| | |f(x)=0, так как 0^a =|
| | |0 при а>0. 5)При x>0 |
| | |функция f(x)>0. Это |
| | |следует из |
| | |определения степени с|
| | |рациональным |
| | |показателем. При |
| | |нечётных а(а=2R+1, |
| | |R(N), если х<0, |
| | |функция принимает |
| | |отрицательные |
| | |значения. Так как |
| | |x^2R+1+x^2R, x^2R>0, |
| | |но x<0, |
| | |следовательно, |
| | |произведение x^2R |
| | |x<0, т.е. f(x)<0 при |
| | |x<0. 6) Функция |
| | |является возрастающей|
| | |на промежутке [0;+() |
| | |для любого a>1. Из |
| | |свойства степени с |
| | |рациональным |
| | |показателем |
| | |(r-рациональное число|
| | |и 00) |
| | |следует, что |
| | |x1^a0.Возьмем два |
|перемещение точки по | |знацения аргумента x1|
|прямой. Чтобы найти | |и x2,принадлежащие |
|скорость движения v, | |этому интегралу, |
|нужно определить | |причём х1<х2. Сравним|
|производную от | |значения этой ф-ии в |
|координаты по | |точках х1 и х2. По |
|времени, т.е. | |формуле Лагранжда |
|v(t)=x’(t). Пример. | |найдётся такое |
|Координата точки, | |значения с ( (х1:х2),|
|движущейся по прямой,| |для которой |
|задана формулой | |выполняется равенство|
|x(t)=2t^2-3t+1 (x(t) | | |
|– перемещение в | |F’(c)=(f(x2)-f(x1))/(|
|метрах, t- время в | |x2-x1). |
|секундах). Найти | |Из этого условия |
|скорость точки в | |следует, что |
|момент времени t=2c. | |f(x2)-f(x1)=f’(c)*(x2|
|Имеем: | |-x1). |
|v(t)=x’(t)=4t-3; | |Заметим, что f(c)>0 |
|v(2)=4*2-3=5 (м/с). | |(по условию), значит,|
|2. Таблица | |f’(c)*(x2-x1)>0, т.е.|
|первообразных | |разность значению |
|элементарных ф-ий. | |аргумента |
| | |соответствует большее|
| | |значение ф-ии, т.е. |
| | |ф-ия |
| | |y=f(x) является |
| | |возрастающей. |
| | |Аналогично |
| | |показывается |
| | |достаточное условия |
| | |ф-ии. |
|Ф-ия |y=x^n|y=si|y=|
| |, n(1|n x |co|
| | | |s |
| | | |x |
|Общий|(x^(n|-cos|Si|
|вид |+1))/|x+C |n |
|перво|(n+1)| |x+|
|образ|+C | |C |
|ных | | | |
|Ф-ия |y=e^x|y=a^|Y=|
| | |x |1/|
| | | |x |
|Общий|e^x+C|(a)/|ln|
|вид | |ln |x |
|перво| |a+C |+C|
|образ| | | |
|ных | | | |
