Bilet
Работа из раздела: «
Математика»
Билет№1
1) Функция y=F(x) называется периодической, если существует такое число
Т, не равное нулю, что для любых значений аргумента из области
определения функции выполняются равенства f(x-T)=f(x)=f(x+T). Число Т
называется периодом функции. Например, y=sinx – периодическая функция
(синусоиду нарисуешь сам (а)) Периодом функции являются любые числа
вида T=2PR, где R –целое, кроме 0. Наименьшим положительным периодом
является число T=2P. Для построения графика периодической функции
достаточно построить часть графика на одном из промежутков длинной Т,
а затем выполнить параллельный перенос этой части графика вдоль оси
абсцисс на +-Т, +-2Т, +-3Т,…
2) Степенью числа а, большего нуля, с рациональным показателем r=m/n (m-
целое число;n-натуральное, больше 1) называется число nSQRa^m, т.е.
a^m/n = nSQRa^m. Степень числа 0 определена только для положительных
показателей; 0^r=0 для любого r>0. Свойства степеней с рациональным
показателем Для любых рациональных чисел r иs и любых положительных a
и b справедливы следующие свойства. 1) Произведение степеней с
одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и
показателем, равным сумме показателей множителей: a^r * a^s = a^r+s.
2) Частное степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же
основанием и показателем, равным разности показателей делимого и
делителя: a^r : a^s = a^r-s.
3) При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а
показатели перемножают: (a^r)^s = a^rs 4) Степень произведения равна
произведению степеней: (ab)^r = a^r * b^r. 5) Степень частного равна
частному степеней (a/b)^r = a^r / b^r. 6) Пусть r рациональное число
и число a больше нуля, но меньше числа b, 0 b^r, если r-отрицательное число.7)
Для любых рациональных чисел r и s из неравенства r1 ; a^r > a^s при 00. Имеем: nSQRa^m : qSQRa^p = nqSQRa^mq : nqSQRa^pn = nqSQRa^mq /
nqSQRa^pn Используя свойство частного корней, получим: nqSQRa^mq /
nqSQRa^pn = nqSQRa^mq / a^pn = nqSQRa^mq-pn. Применим определение
степени с рациональным показателем: nqSQRa^mq-pn = a^mq-pn/nq =
a^mq/nq-pn/nq = a^m/n-p/q = a^r-s.
Билет №2
1.Точка Х0 наз-ся точкой максимума функции f, если для всех х из некоторой
окрестности точки х0 выполнено неравенство f(x)(f(x0)
Окрестностью точки х0 наз-ся любой интервал, сод-щий
эту точку. Например, функция y=-x*x-3 имеет точку максимума х0=0.
Точка х0 наз-ся точкой минимума функции f, если для всех х из некоторой
окрестности х0 выполнено неравенство f(x0) (f(x)
Например, функция y=x+2 имеет точку минимума х0=0.
1)Если (a((1 то уравнение sinx=a корней не имеет, так как (sinx((1 для
любого х.
2)Пусть (a((1 а) На промежутке –пи/2;пи/2 функция y=sinx возрастает,
следовательно по теореме о корне, уравнение sinx =a имеет один корень
x=arcsin a.
Б) На промежутке пи/2;3пи/2 функция y=sin x убывает, значит по теореме о
корне ур-ие sin x=a имеет одно решение x=пи-arcsin a.
В) учитывая периодичность функции y= sin x (период функции равен 2пи n)
решение ур-ия можно записать так: х=arcsin a +2пи n
x=пи- arcsin a +2пи n
решение данного ур-ия можно записать в виде следующей формулы
x=(-1)^n arcsin a + пи n
при четных n(n=2k) мы получим все решения, записанные первой формулой , а
при нечетных n(n=2k+1)- все решения записанные второй формулой.
Билет №3
1) арксинусом числа а называется число, для которого выполнены
следующие два условия: 1)-p/2 <= arcsin a <= p/2; 2) sin(arcsin
a)=a. Из втоого условия следует, что |a|<=1 Пример1. (рис 26)
arcsinSQR3 / 2 = p/3, так как: 1) –p/2 <= p/3 <=p/2; 2)sin p/3=
SQR3 / 2 Пример2. Arcsin SQR5/2 не имеет смысла, так как SQR5 /
2 >1, a arcsin a определён при –1 <= a <= 1 Определение
Арксинусом числа а называется такое число из отрезка [-
Пи/2;Пи/2], синус которого равен а.
2) Если функция F-первообразная функции f на промежутке I, то
функция y=F(x)+C (c-const) также является первообразной функции
f на промежутке I. Любая первообразная функции f на промежудке I
может быть записана в виде F(x)+C. Доказательство. 1)
Воспользуемся определением первообразной:
(F(x)+C)’=F’(x)+C’=f(x), следовательно, y=F(x)+C – первообразная
функции f на промежутке I. 2) Пусть Ф и F- первообразные функции
f на промежутке I. Покажем, что разность Ф-F равна постоянной.
Имеем (Ф(x) – F(x))’ = Ф’(x) – F'(x)=f(x)-f(x)=0,
следовательно, по признаку постоянства функции на интервале Ф(x)-
F(x)=C. Значит любую первообразную можно записать в виде F(x)+C.
Графики любых двух первообразных для функции y=f(x) получаются
друг из друга параллельным переносом вдоль оси Ox (рис. 18)
Билет №4
1) Арккосинусом числа а называется такое число, для которого
выполнены следующие два условия: 1) 0<=arccosa<=p; 2)cos(arccos
a)=a. Из условия 2 следует, что |a|<=1 Пример 1 (рис 28)
arccos1/2=p/3, так как: 1)0<= p/3 <= p; 2) cos p/3 = Ѕ. Пример
2. Arccos p не имеет смысла , так как p ~=3,14 > 1; arccos a
определён при |a|Б=1
2) Показательной функцией называется функция вида y=a^x, где а-
заданное число, а >0, a не равно 1. Свойства показательной
функции 1) Областью определения показательной функции являются
все действительные числа. Это следует из того, что для любого x
принадлежащего R определено значение степени a^x (при a>0). 2)
Множеством значений показательной функции являются все
положительные действительные числа: E(y)=(0;+бескон.) 3) а)
Показательная функция y+a^x возрастает на всей области
определения, если a>1. б) Показательная функция Y=a^x убывает
на всей области определения, если 01,
то большему значению аргумента (x2>x1) соответствует большее
значение функции (a^x2 > a^x1). Из свойств степени известно,
если r>s и a>1, то a^r >a^s. Пусть х2 > x1 и a > 1, тогда a^x2
>a^x1 (по свойству степени). А это означает, что функция y=a^x1
при a>1 возрастает на всей области определения. Докажем, что
если 0 < a<1, то большему значению аргумента (x2>x1)
соответствует меньшее значение функции (a^x2 < a^x1). Из свойств
степени известно, если r>s и 0x1 и
00, a не рано 1. Свойства логарифмической
функции 1) Областью определения логарифмической функции являются
все положительные действительные числа. Это следует из
определения логарифма числа b по основанию a; loga b имеет
смысл, если b>0 2) Множеством значений логарифмической функции
являются все действительные числа. Пусть y0 – произвольное
действительное число. Покажем, что найдётся такое положительное
значение аргумента x0, что выполняется равенство y0 = logax0. По
определению логарифма числа имеем: x0 = a^y0, a^y0 > 0. Мы
показали, что нашлось значение x0 > 0, при котором значение
логарифмической функции равно у0 (у0 – произвольное
действительное число). 3) Логарифмическая функция обращается в
нуль при х=1. Решим уравнение logax=0. По определению логарифма
получаем: a^0 = x, т.е. x = 1. 4) а) логарифмическая функция
y=loga x возрастает на всей области определения, если
a>1.Докажем, что большему значению аргумента (х2 > х1)
соответствует большее значение функции (loga x2 > loga x1),
если a>1. Пусть x2 > x1 > 0; тогда используя основное
логарифмическое тождество, запишем это неравенство в виде
a^logax2 > a^logax1 . (1) В неравенстве (1) сравниваются два
значения показательной функции. Поскольку при a>1 показательная
функция возрастает, большее значение функции может быть только
при большем значении аргумента, т.е. logax2 > logax1.
б)Логарифмическая функция y=logax убывает на всей области
определения, если 01 принимает положительные значения, если x>1;
отрицательные значения, если 01. Пусть a>1, тогда функция y=logax возрастает на всей
области определения (рис. 31); причём loga1=0. Из этого следует,
что: для x>1 logax > loga1, т.е. logax>0; для 01 logax < loga1, т.е. logax < 0; для 0 loga1, т.е. logax > 0. 6) Логарифмическая функция
непрерывна на всей области определения.
Билет №6
1) Пусть на некотором промежутке задана функция y=f(x); x0 – точка этого
промежутка; ?x – приращения аргумента x; x0 + ?X также принадлежит
этому промежутку; ?y – приращение функции. Предел отношения (если он
существует) приращения функции к приращению аргумента при стремлении
приращения аргумента к нулю называется производной функции в точке.
Пусть материальная точка движется по координатной прямой по закону
x=x(t), т.е. координата этой точки x- известная функция времени t.
Механический смысл производной состоит в том, что производная от
координаты по времени есть скорость: v(t) = x’(t).
2) 1) Если |a|>1, то уравнение cos x = a решений не имеет, так как |cos
x|<=1 для любого x. 2) Рассмотрим случай |a|<=1(рис 35) а) На
примежудке [0;Пи] функция y=cosx убывает, значит, уравнение cosx=a
имеет один корень x=arccos a. Учитывается, что функция y=cos x –
периодическая с периодом 2Пиn, запишем все решения уравнения cosx=a на
промежутке [2Пиn; Пи+2Пиn], n принадлежит Z, в виде x = arccos a+
2Пиn, где n принадлежит Z. Б) На промежутке [-Пи; 0] функция y =cosx
возрастает, следовательно, уравнение cosx=a имеет один корень, а
именно,x=-arccos a. Учитывая периодичность функции y= cos. Делаем
вывод, что решением уравнения cos x = a на промежудке [-Пи+2Пи; 2Пиn],
где n принадлежит Z, являются числа вида x=-arccos a + 2 Пиn, где n
принадлежит Z. Таким образом, все ершения уравнения могут быть
записаны так: x=+-arccos a + 2Пиn, где n принадлежит Z.
Билет № 7
1) Пусть на некотором промежутке задана функция y=f(x); x0-точка этого
промежутка; ?x-приращение аргумента х; точка х0+ ?x принадлежит этому
промежутку; ?y-приращение функции. Предел отношения (если он
существует) приращения функции к приращению аргумента при стремлении
приращения аргумента к нулю называется производной функции в точке.
Пусть задана дифференцируемая функция y=f(x) (рис.36). Геометрический
смысл производной состоит в том, что значение производной функции в
точке x0 равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к
графику функции в точке с абсциссой x0: f’(x0)=R, где R-угловой
коэффициент касательной.
2) 1) На промежутке (-Пи.2 ; Пи.2) функция y=tgx возрастает, значит, на
этом промежутке, по теореме о корне, уравнение tgx=a имеет один
корень, а именно, x=arctg a (рис 37). 2) Учитывая, что период
тангенса равен Пиn, все решения определяются формулой x=arctg a + Пиn,
nпринадлежит Z.
Билет №8
1) Пусть ф-ция f(x) задана на некотором промежутке, а –точка этого
промежутка. Если для ф-ции выполняется приближенное равенство f(x) ?f(a)
с любой , наперед заданной точностью, для всех х , близки х к а , то
говорят , что ф-ция непрерывна в точке а. Иными словами ф-ция f непрерывна
в точке а , если f(x) >f(a) при х >а.
Ф-ция непрерывная в каждой точке промежутка наз-ся непрерывной на
промежутке.
Гр. непрерывной на промежутке ф-ции представляет собой непрерывную линию.
Иными словами гр. можно нарисовать не отрывая карандаша от бумаги.
Например ф-ция f(x)=3^x непрерывна в точке х0=2.Действаительно 3^x >3^2,
при х>2. Ф-ция f(x)=3^x непрерывна на множестве всех действительных чисел ,
а ее график можно нарисовать не отрывая карандаша от бумаги.
2) Арифметическим корнем n-ой степени из числа а наз-ся неотрицательное
число n-ая степень к-рого равна а.
Св-ва корней: Для любых натуральных n, целого k и любых неотрицательных
чисел a и b выполняются следующие св-ва:
1. N sqr ab= n sqr a * n sqr b
2. n sqr (a/b)= (n sqr a)/( n sqr b) b ?0
3. n sqr (k sqr a)= kn sqr (a), k> 0
4. n sqr (a) = kn sqr (a^k) ,k>0
5. n sqr (a^k)=( n sqr a)^k (ели k?0,то а?0)
6. Для любых неотрицательных чисел а и b таких, что а < b выполняется
неравенство:
n sqr a< n sqr b, если 0?a0(а(1), и любых пол-ных х и у выполняются
следующие св-ва:
1) loga1=0
2) logaа=1
3) loga(ху)= logaХ+ logaУ
Док-во: Воспользуемся осн-ным лог-им тождеством
a ^ logab =b и св-ом показат-ной ф-ции
а^ х+у =а^x * а^y имеем
а^ loga(xy)=xy= a^ logax *a^ logay =a ^logax +logay
4) loga(Х/У)= logaХ- logaУ
5) logaХ^Р= рlogaХ
6) Формула перехода:
logaХ= logbX/ logbA
Билет №10.
1. Ф-ция F наз-ся первообразной ф-ции f на промежутке I, если для всех
значений аргумента из этого промежутка F((x)=f(x). Например ф-ция
F(x)=4x^2+3x-1 явл-ся первообразной ф-ции f(x)=12x^3 на множестве всех
действительных чисел. Действительно F((x)=12X^2+3 , т.е. F((x)=f(x).
2. Если каждому действительному числу поставлен в соответствие его тангенс
, то говорят , что задана ф-ция тангенс. Обозначается это так: y=tg x.
Св-ва:1) Областью опр-ния ф-ции явл-ся все действительные числа, кроме
чисел вида
X=пи/2 +пи k, k(Z.
Это следует из опред-ия тангенса (tg x=sin x/cos x). Нужно искл-ть числа,
при к-рых знаменатель cos x=0 т.е. х= пи/2+пи k, k(Z.
2) Множеством значений ф-ции явл-ся все действительные числа:Е(у)=(-(;+().
3) Ф-ция явл-ся нечетной ф-цией, т.е. для любого х(D(y) выполняется нер-во
tg(-x)=-tg x . покажем это, tg (-x)=sin (-x)/cos (-x)= -sin x/cos x= -tg x
4) Ф-ция явл-ся периодической с периодом пи k ,где k-целое кроме
0.Наименьшим положительным периодом тангенса явл-ся число пи.
5) Ф-ция тангенс принимает значения 0 при х=пи k, k(Z. Решением ур-ия tg
x=0 явл-ся числа х=пи k, k(Z
6) Ф-ция tg принимает положительные значения при пи k ?)). Это число
называют интегралом, т.е. Sn > integral (a;b) f(x) dx при n> ?
2) Если каждому действительному числу поставлен в соответствие его синус,
то говорят, что задана функция синус (обозначение y=sin x). Свойства
функции синус 1) Область определения функции синус является множество
всех действительных чисел, т.е. D(y)=R. Каждому действительному числу
х соответствует единственная точка единичной окружности Px, получаемая
поворотом точки P0(1;0) на угол, равный х радиан. Точка Рх имеет
ординату, равную sinx. Следовательно, для любого х определено значение
функции синус. 2) Множеством значений функции синус является
промежуток [-1;1], т.е. E(y)=[-1;1]. Это следует из определения
синуса: ордината любой точки единичной окружности удовлетворяет
условию –1 <= Ypx<=1, т.е. –1<=sin x<=1 3)Функция синус является
нечётной, т.е. для любого х принадлежащего R выполняется равенство
sin(-x)=-sinx. Пусть точка Рх получена при повороте точки Р0 на х
радиан, а точка Р-х получена при повороте точки Р0 на –х радиан (рис
43). Треугольник ОрхР-х является равнобедренным; ON-биссектриса угла
РхОР-х, значит, ON является медианой и высотой, проведённой к стороне
РхР-х. Следовательно, PxN = P-xN, т.е. ординаты точек Рх и Р-х
одинаковы по модулю и противоположны по знаку. Это означает, что sin(-
x)=-sinx. 4) Функция синус является периодической с периодом 2ПиR,
где R- целое. Кроме 0. Наименьшим положительным периодом синуса
является число 2Пи. Каждому действительному числу вида x+2ПиR, где R
принадлежит Z, соответствует единственная точка единичной окружности
Рх + 2ПиR, получаемая поворотом точки Р0(1;0) на угол x+2ПиR имеет
ординату, равную sinx или sin(x+2ПиR). Таким образом,
sin(x+2ПиR)=sinx. Этим показано, что числа вида 2ПиR, где R- целое,
кроме 0, являются периодом функции. При R=1 имеем sin(x+2Пи)=sinx,
следовательно, число 2Пи также является периодом функции синус.
Покажем, что 2Пи-наименьшее положительное число, являющееся периодом
функции синус. Пусть Т – положительный период функции синус; тогда
sin(x+T)=sinx при любом х. Это равенство верно и при x= Пи.2, т.е.
sin(пи/2 + T)=sin Пи/2 = 1. Но sinx=1,если x= Пи/2 + 2Пиn, где n
принадлежит Z. Наименьшее положительное число вида 2Пиn есть 2Пи. 5)
Функция синус принимает значение нуль при x=ПиR, где R принадлежит Z.
Решением уравнения sinx=0 являются числа x=ПиR, где R принадлежит Z.
6) Функция синус принимает положительные значения при 2ПиRx1. Сравним два значения функции: sinx2 – sinx1 = 2cos x1+x2/2 *
sin x2-x1/2; 0< x2-x1/2 <= Пи/2, -Пи/2 < x1+x2/2< Пи/2, поэтому,
учитывая промежутки знакопостоянства синуса и косинуса, имеем sin x2-
x1/2 > 0, cos x1+x2/2>0. Таким образом, sinx2-sinx1>0, значит,
большему значению аргумента соответствует большее значение функции,
т.е. функция синус возрастает на промежутке [-Пи/2; Пи/2]. В силу
периодичности синуса можно утверждать, что синус возрастает на
промежутках [-Пи/2 + 2ПиR; Пи/2 + 2ПиR], где R принадлежит Z. 8)
Функция синус имеет максимумы , равные 1, в точках Пи/2 + 2ПиR, где
где R принадлежит Z. Функция Синус имеет минимумы, равные –1, в
точках 3Пи/2 + 2ПиR, где R принадлежит Z. Покажем, что точка х0=Пи/2
является точкой максимума. Функция синус возрастает на промежутке [-
Пи/2; Пи/2], т.е. sinx1 1)D(f)=[0;+(], если а не является натуральным
числом. Это следует из определения степени с рациональным показателем. Если
а натуральное число, то D(f)=(-(;+() по определению степени с натуральным
показателем. 2)E(f)=[0;+() для всех а>1, кроме а= 2R+1. Где R(N. Это
следует из определения степени с рациональным показателем. E(f)=(-(;+() для
нечётных а,т.е. а=2R+1, где R(N. 3)Если а-чётное натуральное число, то
данная функция является чётной. Т.к. f(-x)=(-x)^2R = ((-x)^2)^R= (x^2)^R =
x^2R = f(x). Если а-нечётное натуральное число. то данная функция является
нечётной, так как f(-x)=(-x)^2R+1 + (-x)^2R (-x)= x^2R * (-x)=-x^2R * x+
-x^2R+1 + -f(x). 4)При х=0 функция f(x)=0, так как 0^a = 0 при а>0. 5)При
x>0 функция f(x)>0. Это следует из определения степени с рациональным
показателем. При нечётных а(а=2R+1, R(N), если х<0, функция принимает
отрицательные значения. Так как x^2R+1+x^2R, x^2R>0, но x<0, следовательно,
произведение x^2R x<0, т.е. f(x)<0 при x<0. 6) Функция является
возрастающей на промежутке [0;+() для любого a>1. Из свойства степени с
рациональным показателем (r-рациональное число и 00) следует, что x1^a0.Возьмем два знацения аргумента x1 и x2,принадлежащие этому
интегралу, причём х1<х2. Сравним значения этой ф-ии в точках х1 и х2. По
формуле Лагранжда найдётся такое значения с ( (х1:х2), для которой
выполняется равенство
F’(c)=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1).
Из этого условия следует, что f(x2)-f(x1)=f’(c)*(x2-x1).
Заметим, что f(c)>0 (по условию), значит, f’(c)*(x2-x1)>0, т.е. разность
значению аргумента соответствует большее значение ф-ии, т.е. ф-ия
y=f(x) является возрастающей. Аналогично показывается достаточное условия ф-
ии.
