Система Лотка-Вольтерра

Вариант № 7


      [pic]

Задание:

     1. Ввести новые  переменные,  максимально  уменьшив  число  параметров
        системы.
     2. Найти неподвижные точки системы и исследовать их  характеристики  в
        зависимости от параметров системы.
     3.   Исследовать   поведение   предельных    циклов.    Доказать    их
        существование/несуществование.
     4. Построить фазовые портреты системы при  всех  возможных  параметрах
        системы.
     5. Дать биологическую интерпретацию полученным результатам.



1. Вводим новые переменные x ( Ax, y ( By, t ( Tt и переписываем систему:
      [pic]



2. Нахождение неподвижных точек преобразованной системы

   2.1    x=0,y=0      ==>   O(0,0)
    2. [pic]
       P[pic]
    3. [pic]
       Q[pic]


3. Характеристики неподвижных точек
   Запишем Якобиан нашей системы
   [pic]

    1. [pic]
    2. [pic]
    3. [pic]



   Проведем  дополнительное  исследование,  обозначив   на   параметрическом
портрете возможные области значений [pic].

   а) точка О – сток, как было показано выше;
   б) точка Р[pic]:
      [pic]
      Область 1:   [pic]
      Область 2:    [pic]
                  Точка Р – исток (неуст. узел)
         Область 3: [pic]
                 Точка Р – седло
       в) точка Q[pic]:
            Область 1: [pic]
            Область 2: [pic]
            Область 3:  [pic]
                          [pic]
                       Точка Q – исток ( неустойчивый узел)
                         Кроме  того,  при  поиске   собственных   значений
           Якобиана возникает уравнение
      [pic]
            Решение  уравнения  D<0  производилось  графически  ,  поскольку
аналитическое решение в  этом  случае  представляется  затруднительным.  Для
этого  использовался  математический  пакет  Maple  6.   При   фиксированном
значении  [pic]  были  рассмотрены  точки  ([pic])области  3,  для   которых
проверялось неравенство D<0. Таким образом, как видно  из  рисунка,  в  3-ей
области появляется подобласть 3’. Неравенство D<0 выполняется в области 3  –
3’ , где вещественные части собственных значений будут положительны. В  этой
области точка Q превращается в неустойчивый фокус.



Запишем результаты исследования характеристик точек в таблицу:

|             |1          |2           |3           |3 – 3’      |
|\Область     |           |            |            |            |
|Точка        |           |            |            |            |
|O            |сток       |сток        |сток        |сток        |
|P            |не сущ.    |исток       |седло       |седло       |
|Q            |не сущ.    |не сущ.     |исток       |неуст. фокус|


4.1  Параметрические области системы
[pic]



Область 1: [pic]
[pic]

4.3   Область 2: [pic]
[pic]



Область 3’ : [pic]
[pic]

4.5   Область 3 – 3’  : [pic]
[pic]



5. Биологическая интерпретация модели.

     [pic]

      Данная система представляет собой модель взаимного влияния  в  природе
двух животных видов – хищников и  жертв.  Как  видно  из  рисунков,  в  этой
системе оба вида вымирают. Предельных циклов в системе нет. X – жертвы, Y  –
хищники. Динамику взаимодействия двух видов описывают три  функции:  g(x)  –
функция  динамики  численности  жертв,  p(x)  –  трофическая  функция  жертв
(характеризует число  жертв  убитых  одним  хищником),  q(x)  –  трофическая
функция  хищников  (характеризует  влияние  числа  жертв,  убиваемых   одним
хищником, на изменение численности популяции хищников).


      [pic]

      [pic]